Пусть даны угол A и стороны a $противоположнаяA$ и b $смежнаясA,т.е.сторонаAC=b$. Зафиксируем точку A и отрезок AC длины b по оси Ox, так что C = $b,0$. Луч AB составляет с AC угол A. Точка B должна лежать на этом луче и одновременно на окружности с центром C и радиусом a. Иначе говоря, число геометрических решений равно числу пересечений луча AB с окружностью радиуса a, центром в C.

Введём высоту h — расстояние от точки C до луча AB. По треугольнику AAC: h = b · sin A. $ЭторасстояниеотCдопрямой,проходящейчерезAподугломA.$

Обобщённая алгебраическая формулировка: для пересечения существует дискриминант, пропорциональный a^2 − b^2 sin^2 A. Поэтому ключевой порог — b sin A = h.

Рассмотрим случаи.

1) A острый (0 < A < 90°)

a < b sin A (a < h) — окружность радиуса a не доходит до луча → 0 решений.
Геометрически: расстояние от C до луча больше a, поэтому никаких точек пересечения.a = b sin A $a=h$ — окружность касается луча → 1 $прямой$ треугольник.
Геометрически: B — точка касания; в получившемся треугольнике угол B = 90°.b sin A < a < b — окружность пересекает луч в двух точках → 2 решения $двеневырожденныеразныефигуры$.
Геометрически: возможны два положения вершины B $симметричныеотносительноперпендикуляраизC$, дающие два разных треугольника $одинсострым,другойступымугломB$.a ≥ b — только одно решение.
Геометрически: если a ≥ b, второе пересечение окружности лежит "за" A $напродолжениилучавпротивоположнуюсторону$ или совпадает, поэтому на самом луче AB остаётся только одно пересечение → одна фигура. (При a = b может быть частный случай симметрии; при a > b всегда ровно одно неполярное положение B.)

2) A = 90°

h = b. Тогда если a ≤ b — нет невырожденного треугольника $приa=bполучаетсявырожденныйслучайB=A$, если a > b — ровно 1 решение.
Геометрически: луч AB перпендикулярен AC; расстояние от C до луча = b, если a ≤ b окружность не пересекёт $иликоснётсявA—вырождение$, если a > b — одно пересечение на луче вверх.

3) A тупой (90° < A < 180°)

Здесь также ключ: h = b sin A (0 < h < b). В этом случае возможен максимум один неполярный пересечение:
a ≤ b sin A $a\le h$ — 0 решений $дляa=hкасаниедаётвырожденный/особыйслучайнагранице$.a > b sin A — 1 решение.
Геометрически: при A тупом один из корней квадратного уравнения даёт абсциссу на луче, другой корень оказывается отрицательным $на«другомнаправлении»черезA$, поэтому либо нет пересечений, либо ровно одно на луче.

Короткая сводка $безвырожденныхсовпадений$:

Если A острый:
a < b sin A — 0a = b sin A — 1 $прямой$b sin A < a < b — 2a ≥ b — 1Если A = 90°:
a > b — 1; a ≤ b — 0 $a=b—вырождение$Если A тупой:
a ≤ b sin A — 0 $границаa=bsinA—касание$a > b sin A — 1

Можно также записать универсальное условие через дискриминант: число $невырожденных$ решений равно

0, если a < b sin A;1, если a = b sin A $касание$ или $A\ge 90°иa\ge bsinA$;2, только в случае A < 90° и b sin A < a < b.

Эти результаты получаются из геометрического построения: пересечение луча из A под углом A с окружностью центра C радиуса a, а порог b sin A — это расстояние от центра окружности до этого луча.