Рассмотрим ряд
sum_{n=1}^\infty $sinn$/n.

Краткий итог: ряд сходится условно $неабсолютно$. Ниже — возможные подходы и почему самый прямой — признак Дирихле.

1) Признак Дирихле $наиболеепрямой$

Формулировка $особаяверсиядлянашихданных$. Если последовательность частичных сумм An = sum{k=1}^n a_k ограничена, а b_n монотонно стремится к 0, то sum a_n b_n сходится.Взять a_n = sin n, b_n = 1/n. Очевидно b_n монотонно убывает к 0. Нужно показать, что An = sum{k=1}^n sin k ограничена.Используем тригонометрическую формулу суммы: для x ≠ 0
sum_{k=1}^n sin$kx$ = sin$nx/2$ sin$(n+1)x/2$ / sin$x/2$.
При x = 1 $радианы$ получаем
An = sum{k=1}^n sin k = sin$n/2$ sin$(n+1)/2$ / sin$1/2$,
откуда |A_n| ≤ 1/|sin$1/2$| — частичные суммы ограничены.Значит по признаку Дирихле ряд sum sin n / n сходится.

Комментарий: это самый прямой путь, потому что сумма sin k даётся явной краткой формулой, и 1/n — классический нисходящий множитель →0; условия Дирихле выполняются «в лоб».

2) Признак Абеля / суммирование по частям

Можно вывести то же сходимость через преобразование Абеля $суммированиепочастям$: если Ak = sum{j=1}^k sin j ограничены, то
sum_{k=1}^N sin k / k = AN / N + sum{k=1}^{N-1} A_k $1/k-1/(k+1)$,
правая сумма сходится при ограниченности A_k, так как $1/k-1/(k+1)$ ~ 1/k^2. Это эквивалентный способ, по сути тот же принцип, что и у Дирихле.

3) Комплексный подход $стягиваниеклогарифму$

Можно рассмотреть ∑ e^{ik}/k $комплекснаягеометрическаяпрогрессия$, т. к. sin k = Im e^{ik}. Формально ∑{k=1}^\infty z^k/k = −ln$1-z$ для |z|<1, и при z = e^{i} $|z|=1,z\ne 1$ ряд ∑ e^{ik}/k сходится $условно$, поэтому и ∑ sin k / k сходится. Это даёт и значение суммы через мнимую часть логарифма: sum{k=1}^\infty sin k / k = −Im ln$1-e^i$.

4) Абсолютная сходимость $отрицательныйрезультат$

Ряд не сходится абсолютно: sum |sin n|/n расходится.Одно объяснение $черезравномерноераспределениемод2\pi$: последовательность {n mod 2π} равномерно распределена на $$0,2\pi$$, поэтому среднее значение |sin n| равно $1/2\pi$∫0^{2π}|sin x| dx = 2/π > 0. Из этого с помощью частичного суммирования следует, что частичные суммы S$N$=∑{n≤N}|sin n| растут ~ c N (c>0), и тогда ∑ |sin n|/n сравнимо с ∑ c/n и расходится. (Можно дать и другие более технические доказательства существования бесконечного подпоследовательности с положительной плотностью, на которой |sin n|≥const>0, и тогда соответствующая подсерия гармонического типа расходится.)Следовательно сходимость ряда sin n / n условная, не абсолютная.

Вывод: наиболее прямой и экономный путь — использовать признак Дирихле $илиэквивалентноесуммированиепочастям$, потому что легко проверить ограниченность частичных сумм sin 1 + ... + sin n $естьпростаяявнаяформула$ и 1/n монотонно → 0.