Коротко — в чём проблема и как её исправить.

1) Почему теряются значащие цифры
Стандартная формула
x = $-b\pm sqrt(b^2-4ac)$ / $2a$ даёт потерю значащих цифр, когда подвыражения, которые вычитаются, близки по величине. Это происходит при большом |b| и малом 4ac по сравнению с b^2, т.е. когда b^2 ≫ 4ac. Тогда sqrt$D$ ≈ |b|, и один из числителей
−b + sqrt$D$ или −b − sqrt$D$ становится разностью двух почти равных чисел — в результате происходит катастрофическое вычитание и теряется точность (особенно для корня, соответствующего знаку «+», если b>0, и для «−», если b<0).

2) Какой корень страдает
Если b > 0, то проблемный корень — тот, где стоит +: x1 = $-b+sqrt(D)$ / $2a$ $онмалпомодулю$.
Если b < 0, то проблемный — с «−»: x2 = $-b-sqrt(D)$ / $2a$.

3) Численно устойчивая схема $рецепт$ Вместо прямого вычисления обоих корней используйте промежуточную величину
q = −0.5 $b+sign(b)</em>sqrt(D)$,
где sign$b$ = +1 для b ≥ 0 и −1 для b < 0. Тогда один корень вычисляется как
x1 = q / a,
а второй — через соотношение произведения корней c/a:
x2 = c / q.

Пояснение: q = $-b-sign(b)\cdot sqrt(D)$/2 — это не даёт вычитания почти равных величин $мыскладываемчислаодногознака$, поэтому q вычисляется точно. Затем второй корень получаем делением c на первый корень — это также устойчиво.

4) Алгоритм $псевдокод$ Если a == 0: решаем линейное b x + c = 0.
Иначе:

D = bb − 4a*cесли D < 0: корни комплексные — аналогично используем sqrt$complex(D)$sqrtD = sqrt$D$s = (b >= 0) ? 1 : −1q = −0.5 $b+s</em>sqrtD$если q != 0:
x1 = q / a
x2 = c / q
иначе $q==0,случайдвойногокорняиличисленноблизкого$:
x1 = x2 = −b / $2\ast a$

5) Пример $иллюстрация$ a = 1, b = 1e8, c = 1.
Точный маленький корень ≈ −1e−8. Прямая формула для малого корня вычисляет $-b+sqrt(D)$ / $2a$ — вычитание двух ≈1e8 величин и в стандартной двойной точности часто даст ноль или сильно потерянную точность. Устойчивый метод: s = +1, q = −0.5*$b+sqrtD$ ≈ −1e8, x_big = q/a ≈ −1e8, x_small = c/q ≈ −1e−8 — точно.

6) Замечания

Обрабатывать случай a = 0 отдельно. Если коэффициенты могут быть очень большими/маленькими, полезно предварительное шкалирование $нормировкакоэффициентов$, чтобы избежать переполнения/денормализации при вычислении b^2 или sqrt$D$. Для комплексных корней аналогичный приём сохраняет устойчивость при выборе знака для суммирования. Для особо критичных задач предпочтительно использовать расширённую точность $longdouble$ или библиотеки с произвольной точностью.

Итого: используйте формулу с q = −0.5$b+sign(b)</em>sqrt(D)$ и второй корень через c/q — это стандартный численно устойчивый приём для квадратных уравнений.