Коротко о недостатках формулировки в исходном доказательстве

Не оговорено, что многоугольник простой $несамопересекающийся$. Для самопересекающегося многоугольника «внутренние углы» вообще можно понимать по‑разному, и утверждение $n-2$·180° может не выполняться в той форме, в которой его записали. Автор «разбивает многоугольник на треугольники через одну вершину» без пояснения, что все проведённые диагонали лежат внутри многоугольника. Это верно не для всех простых многоугольников $некаждаявершинаявляетсявидимойсовсейостаточнойграни$; требуется доказать существование диагоналей, не выходящих за пределы многоугольника. Не оговорены вырожденные случаи $коллинеарныесоседниевершины,совпадающиевершиныит.п.$. Их либо исключают, либо трактуют как предельные случаи $угол=180°$.

Корректная формулировка и доказательство

Теорема. Пусть P — простой $тоестьнепересекающийся$ n-угольник с n ≥ 3, вершины перечислены в порядке обхода контура. Тогда сумма внутренних углов P равна $n-2$·180°.

Примечание: под «внутренним углом в вершине» понимается угол внутри области, ограниченной P, принимаемый в диапазоне 0 < α < 2π (в обычных невырожденных случаях 0 < α < π для выпуклых вершин и π < α < 2π для вогнутых).

Доказательство $индукцияс«откусомуха»$.
Определение. Тройка последовательных вершин $v_{i-1},v<em>i,v</em>i+1$ образует «ухо», если отрезок v{i−1}v{i+1} $диагональ$ лежит целиком внутри многоугольника и не пересекает остальные стороны. Теорема о двух ушах: в любом простом многоугольнике с n ≥ 4 существует по крайней мере два уха $Meister:«twoearstheorem»$. $Этутеоремуможнодоказатьотдельноилипринятькакизвестную;изнеёследует,чтодляпростогомногоугольникавсегдаможнонайтидиагональ,разбивающуюегонадвапростыхмногоугольника.$

База n = 3 очевидна: треугольник, сумма углов = 180° = $3-2$·180°.

Переход. Пусть утверждение верно для всех простых $n-1$-угольников. Возьмём простой n-угольник. По теореме о двух ушах существует ухо, то есть диагональ, которая вместе с одной гранью образует треугольник, лежащий внутри многоугольника. Удалим этот треугольник $удалимоднувершину—«отрежемухо»$, получаем простой $n-1$-угольник. По предположению индукции сумма внутренних углов полученного $n-1$-угольника равна $(n-1)-2$·180°. При возвращении отрезанной вершины суммарная сумма углов увеличивается ровно на сумму углов отрезанного треугольника, то есть на 180°. Следовательно сумма углов исходного n-угольника
$(n-1)-2$·180° + 180° = $n-2$·180°.
Индукция завершена. □

Дополнительные замечания

Если в многоугольнике есть три последовательные коллинеарные вершины $угол=180°$, формула остаётся верной, если такие вершины считать отдельными и углы 180°. В доказательстве их можно рассматривать как предельный случай $при«откусыванииуха»возможносначалаудалитьвершинусуглом180°,чтонеменяетсуммыуглов$.Метод «провести все диагонали из одной вершины» работает только тогда, когда выбранная вершина видна из всех непоследовательных вершин $например,еслимногоугольникзвёздообразныйотносительноэтойвершины$ — это дополнительное требование, которого в общем случае нет.

Обобщение для самопересекающихся $комплексных$ полигонов
Если ломаная самопересекается, то имеет смысл смотреть не «внутреннюю область» в обычном смысле, а сумму «внутренних углов» можно выразить через сумму внешних поворотных углов. Пусть α_i — $неориентированный$ внутренний угол в i-й вершине, а внешняя поворотная величина в этой вершине ε_i = π − α_i $можнобратьсзнаком,понаправлениюобхода$. Тогда сумма внешних поворотных углов равна 2πW, где W — целое число $величинаповорота/числовитковломанойвокругточки—«windingnumber»относительновнутреннейобласти$. Из этого
sum_i ε_i = 2πW ⇒ sum_i $\pi -{\alpha }_i$ = 2πW ⇒ sum_i α_i = nπ − 2πW.
В градусах:
sum α_i = $n-2W$·180°.
Для простого $неориентированногосамопересечения$ многоугольника W = ±1 $обычноW=1приобходепограницеположительногоориентира$, поэтому возвращаемся к $n-2$·180°. Для самопересекающейся ломаной W может быть отличен от ±1 и тогда сумма углов изменяется соответственно; однако в этом случае нужно точно оговорить, какие углы считаются «внутренними» и как определяется ориентация/знак.

Итого
Правильная чистая формулировка: для любого простого $несамопересекающегося$ n-угольника сумма внутренних углов равна $n-2$·180°. Для самопересекающихся ломаных сумма $вподходящемориентированномсмысле$ равна $n-2W$·180°, где W — число витков $windingnumber$.