Утверждение неверно в общем виде. Приведу контрпримеры и точные дополнительные условия, при которых оно становится верным.

1) Контрпримеры $неисправностьутверждения$

f$x$ = sin x на $$0,2\pi$$. ∫_0^{2π} sin x dx = 0, но sin x ≠ 0 на всём отрезке.f$x$ = x − 1/2 на $$0,1$$. ∫_0^1 $x-1/2$ dx = 0, но функция не тождественно ноль.

Таким образом из ∫_a^b f = 0 и непрерывности не следует f$x$ ≡ 0.

2) Что всё же следует при непрерывности

По теореме о среднем значении для интеграла $длянепрерывнойfсуществуетc\in (a,b)такое,что{\int }_a^{b}f=f(c)(b-a)$. Отсюда при ∫_a^b f = 0 следует, что существует хотя бы одна точка c ∈ $a,b$ такая, что f$c$=0. Более того: либо f ≡ 0 на $$a,b$$, либо f принимает и положительные, и отрицательные значения $иначеинтегралнемогбыбытьнулевым$.

3) Дополнительные условия, при которых утверждение верно
Любое условие, которое исключает «компенсацию» положительных и отрицательных частей, делает утверждение истинным. Основные варианты:

f непрерывна на $$a,b$$ и f$x$ ≥ 0 для всех x ∈ $$a,b$$. Тогда ∫_a^b f = 0 влечёт f$x$ = 0 для всех x. (Доказательство: если f(x0) > 0 для некоторого x0, то по непрерывности существует окрестность, где f > 0, значит интеграл > 0 — противоречие.)Аналогично, если f ≤ 0 на $$a,b$$ и ∫_a^b f = 0, то f ≡ 0.f непрерывна и ∫_a^b |f| = 0 (или ∫_a^b f^2 = 0, или ∫_a^b |f|^p = 0 для p>0). Тогда |f| $илиf^2$ непрерывна, неотрицательна и её интеграл ноль, значит она тождественно ноль, следовательно f ≡ 0.Эквивалентно: если непрерывная f равна нулю почти всюду по мере Лебега $имеетнулевуюL^1-норму$, то непрерывность поднимает «почти всюду» до «всех точек», т.е. f ≡ 0.

Коротко: без дополнительного условия на знак $илинаабсолютнуювеличину$ утверждение ложно; если же исключить смену знака $например,потребоватьf\ge 0$, либо потребовать нулевой интеграл от |f| $илиотf^2$, то из нулевого интеграла следует f ≡ 0.