Приведу типичную «доказательную» цепочку и сразу укажу, где именно ошибка.

Типичный фокус:

Пусть a = b.Тогда a^2 = ab.Вычтем b^2: a^2 − b^2 = ab − b^2.Разложим: $a-b$$a+b$ = b$a-b$.«Сократим» на $a-b$ и получим a + b = b.Так как a = b, то 2b = b, откуда 2 = 1.

Где ошибка?
Ошибка на шаге 5: «сокращение» $деление$ на множитель $a-b$. Но при a = b имеем a − b = 0, то есть в шаге пытаются разделить на ноль. Деление на ноль не определено, поэтому этот шаг недопустим.

Почему это недопустимо $интуитивноиформально$?

Умножение на ноль не инъективно: для любого x выполняется 0·x = 0, поэтому из 0·Y = 0·Z нельзя вывести Y = Z. Другими словами, отменить общий множитель можно только если этот множитель не равен нулю.В рамках обычной арифметики $полевещественныхчисел$ разрешённая операция «сокращения» требует, чтобы делитель был ненулевым. Если делитель = 0, то операция не имеет смысла и приводит к ложным выводам.В нашем примере при a = b уравнение $a-b$$a+b$ = b$a-b$ превращается в 0 = 0 — тождество, не дающее никакой новой информации. Нельзя из тождества 0 = 0 получить a + b = b.

Как правильно формулировать похожие рассуждения, чтобы не попасть в ловушку:

Перед операцией деления/сокращения явно проверьте, что делитель отличен от нуля. В общем случае из уравнения x·y = x·z можно сделать вывод y = z только при условии x ≠ 0.Если делитель может быть равен нулю, разделите рассуждение на случаи:
Случай x = 0: тогда уравнение даёт 0 = 0 — нет информации о y и z.Случай x ≠ 0: можно сократить на x и получить y = z.В более общей алгебраической формулировке: все эквивалентные преобразования уравнений должны быть обратимыми. Умножение на ненулевый множитель и сложение одинакового числа с двух сторон — обратимые операции; деление на ноль — необратимо/неопределено.

Короткий проверочный пример $конкретныечисла$:
Возьмём a = b = 1.
Шаг 4 даёт $1-1$$1+1$ = 1·$1-1$, то есть 0 = 0.
«Сокращение» на $1-1$ означает деление на 0 — именно здесь и происходит ошибка, и «результат» 2 = 1 ложен.

Итого: точное место ошибки — деление $сокращение$ на множитель $a-b$ при a = b, то есть деление на ноль. Чтобы не ошибаться, всегда проверяйте условие ненулевости делителя или расписывайте случаи явно.