Краткий ответ: неверно в общем случае. Нулевая ковариация $некоррелированность$ не равносильна независимости, она лишь означает отсутствие линейной связи между величинами.

Почему независимость => нулевая ковариация:

Если X и Y независимы и оба имеют конечные ожидания, то E$$XY$$ = E$$X$$E$$Y$$, отсюда Cov$X,Y$ = E$$XY$$ − E$$X$$E$$Y$$ = 0.

Однако обратное неверно — нулевая ковариация не гарантирует независимость. Примеры.

Пример 1 $простаядискретная$: положим X принимает значения −1, 0, 1 с вероятностями 1/4, 1/2, 1/4 соответственно, и положим Y = X^2. Тогда

E$$X$$ = 0 $симметрия$,E$$Y$$ = E$$X^2$$ = 1/2,E$$XY$$ = E$$X^3$$ = 0 $симметрия$,
значит Cov$X,Y$ = 0. Но X и Y зависимы: знание Y говорит о модуле X $еслиY=0,тоX=0;еслиY=1,тоX=\pm 1$, т. е. распределение X при условии Y отличается от безусловного.

Пример 2 $непрерывный,«геометрический»$: возьмём θ равномерно на $$0,2\pi ),положимX=cos\theta ,Y=sin\theta .ТогдаE[X$$ = E$$Y$$ = 0 и
E$$XY$$ = E$$(1/2)sin2\theta$$ = 0,
следовательно Cov$X,Y$ = 0. Но X и Y зависимы, поскольку X^2 + Y^2 = 1 — знание X ограничивает возможные значения Y.

Ещё простой пример: возьмите X ~ N$0,1$ и Y = X^2. Тогда E$$X$$ = 0, E$$XY$$ = E$$X^3$$ = 0, но Y полностью определяется X.

Интуиция и различие:

Ковариация/корреляция фиксирует только линейную связь между X и Y. Если связь нелинейная $напримерквадратичная$, ковариация может быть нулевой при сильной зависимости.Независимость означает, что знание одной переменной не меняет распределение другой $всемоментыифункциифакторизуются$: p_{X,Y}$x,y$ = p_X$x$p_Y$y$. Это гораздо более сильное условие.

Когда нулевая ковариация означает независимость:

Если $X,Y$ имеют совместное нормальное $гауссово$ распределение, то нулевая ковариация эквивалентна независимости. В общем случае $негауссово$ это не так.

Вывод: ноль ковариации — это признак отсутствия линейной зависимости, но не гарантия независимости.