Утверждение «если все диагональные элементы матрицы A положительны, то A положительно определена» неверно. Краткие пояснения, контрпример и корректные критерии — ниже.

Контрпример

Возьмём симметричную матрицу
A = $$[1,2],[2,1]$$.
Диагонали = 1 > 0, но возьмём вектор x = $1,-1$^T:
x^T A x = $1,-1$ $$[1,2],[2,1]$$ $1,-1$^T = −2 < 0.
Следовательно A не положительно определена. Её собственные значения: 3 и −1 $одноотрицательное$, поэтому A не PD.

Комментарий

Для положительной определённости $ввещественномслучае$ обычно предполагают, что матрица симметрична. Для симметричной A положительно определена означает: x^T A x > 0 для всех ненулевых x.Положительные диагональные элементы необходимы (так как для стандартного базиса e_i имеем e_i^T A e_i = a_ii > 0), но этого явно недостаточно.

Корректные критерии положительной определённости $симметричных/эрмитовыхматриц$

Определение:

A положительно определена ⇔ x^T A x > 0 для всех ненулевых вещественных векторов x (в комплексном случае x^* A x > 0).

Спектральный критерий:

A положительно определена ⇔ все её собственные значения положительны.

Критерий Сильвестра $Sylvester$:

Для симметричной матрицы A размерности n необходимо и достаточно, чтобы все ведущие главные определители $det(A_k),гдеA_k—k\times kверхнетреугольная(top-left)главнаяподматрица$ были положительны для k = 1..n.

Пример для 2×2: a11 > 0 и det$A$ > 0.

Холеcкий-разложение:

A положительно определена ⇔ существует разложение A = L L^T, где L — невырожденная нижнетреугольная матрица с положительными диагональными элементами $разложениеХолеcкого$.

Главные миноры / все главные подматрицы:

Для PD все главные миноры $детерминантывсехглавныхподматриц$ положительны. $Проверкавсехглавныхминоров—болеесильноетребование,чемпроверкатольковедущих;темнеменееуPDониобязательноположительны.$

Условие Шура $Schurcomplement$:

Для блочно-симметричной матрицы A = $$[A11,A12],[A21,A22]$$ $приA11невырожденной$ A > 0 ⇔ A11 > 0 и S = A22 − A21 A11^{-1} A12 > 0.Аналогично можно проверить по другой блочной части.

Условие на диагональное доминирование $достаточноеусловие$:

Если A симметрична, все a_ii > 0 и для каждого i выполняется aii > sum{j ≠ i} |a_ij| $строгоедиагональноедоминированиепострокам$, то по теореме Гершгорина все собственные значения положительны, следовательно A положительно определена. $Этотолькодостаточноеусловие,ненеобходимое.$

Условие на ведущие пики $LU-пивоты$:

При выполнении Гаусса без перестановок все диагональные главные элементы $пивоты$ положительны ⇔ A положительна и тогда существует Холеcкий.

Дополнительные замечания

Если матрица несимметрична, условие x^T A x > 0 равно условию PD для симметризованной части $A+A^T$/2; поэтому для несимметричных матриц понятие «положительно определена» обычно заменяют на «положительно определена симметризованная часть».Проверка только диагональных элементов полезна как быстрый фильтр $есликакой-тоa_{i}i\le 0,тоAнеPD$, но для утверждения PD нужна одна из вышеописанных эквивалентных проверок.

Если хотите, могу:

показать ещё упрощённые контрпримеры $несимметричныематрицысположительнымидиагоналями,нонеPD$;привести пошаговую проверку Сильвестра и Холеcкого на конкретном примере.