Задание. Эллипс задан уравнением x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1. Найти максимальную площадь прямоугольника, вписанного в этот эллипс $вершины(\pm x,\pm y)$, сравнить три метода и обосновать глобальность решения.

Ответ $коротко$. Максимальная площадь равна 2ab и достигается при x = a/√2, y = b/√2, т.е. вершины прямоугольника $\pm a/\surd 2,\pm b/\surd 2$.

Доказательства разными методами

1) Параметризация через синус/косинус
Параметризуем точку верхней правой вершины: x = a cos t, y = b sin t, 0 ≤ t ≤ π/2. Площадь прямоугольника:
A$t$ = 4xy = 4ab cos t sin t = 2ab sin 2t.
Максимум для sin 2t равен 1 при 2t = π/2 ⇒ t = π/4. Тогда x = a/√2, y = b/√2 и A_max = 2ab. Это глобальный максимум на $$0,\pi /2$$, так как sin2t ≤ 1.

Преимущество: очень очевидно и быстро.

2) Метод множителей Лагранжа
Максимизируем f$x,y$=xy при ограничении g$x,y$=x^2/a^2 + y^2/b^2 − 1 = 0.
Уравнения Лагранжа:
∂f/∂x = y = λ ∂g/∂x = λ $2x/a^2$,
∂f/∂y = x = λ ∂g/∂y = λ $2y/b^2$.
Если xy ≠ 0, умножая первые два равенства, получаем 1 = λ^2 * 4/$a^2{b}^2$ ⇒ λ = ±ab/2.
Взяв λ = ab/2, из первого равенства y = $ab/2$·$2x/a^2$ = $b/a$ x, подставляем в ограничение:
x^2/a^2 + $b^2{x}^2$/$a^2{b}^2$ = 2 x^2/a^2 = 1 ⇒ x^2 = a^2/2, y^2 = b^2/2.
Получаем тот же результат x = a/√2, y = b/√2, A = 4xy = 2ab. Граничные случаи x=0 или y=0 дают A=0, значит найденная критическая точка даёт максимум.

Преимущество: универсален, удобен при других ограничениях.

3) Алгебраическое преобразование $одномернаяоптимизация$ Из ограничения y = b √$1-x^2/a^2$ $берёмx\ge 0,y\ge 0$. Площадь как функция x:
A$x$ = 4x b √$1-x^2/a^2$. Удобно рассматривать квадрат:
A^2$x$ = 16 b^2 x^2 $1-x^2/a^2$ = 16 b^2 $x^2-x^4/a^2$.
Положим u = x^2 ∈ $$0,a^2$$. Тогда оптимизируем h$u$ = u − u^2/a^2. h'$u$=1 − 2u/a^2 = 0 ⇒ u = a^2/2, откуда x^2 = a^2/2, y^2 = b^2/2 и A_max = 2ab. Второй производной видно, что это максимум (h''(u) = −2/a^2 < 0).

Преимущество: устраняет тригонометрию, даёт явную одномерную задачу.

Обоснование глобального оптимума

Область допустимых $x,y$ = {$x,y$: x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1, x,y ≥ 0} компактна, функция A$x,y$=4xy непрерывна ⇒ максимум существует.В пунктах 1–3 найден единственный внутренний критический максимум $x=a/\surd 2,y=b/\surd 2$, граничные значения дают ноль, значит найденный критический пункт — глобальный максимум на допустимом множестве.Дополнительно: если разрешить поворот прямоугольника $нетребуемегосторонпараллельнымиосям$, то можно сделать линейное аффинное преобразование $x/a,y/b$ → точка на единичной окружности. При таком преобразовании любой вписанный в эллипс прямоугольник отображается в вписанный в окружность параллелограмм; максимальная площадь параллелограмма в окружности радиуса 1 равна 2 $достигаетсяквадратом$, и обратное аффинное преобразование масштабирует площади на множитель ab, давая максимум 2ab. Это показывает, что и среди всех повёрнутых прямоугольников нельзя превысить 2ab, и что максимальный прямоугольник соответствует квадрату на окружности и в исходных координатах имеет стороны параллельны осям и x=a/√2, y=b/√2.

Итог: максимальная площадь 2ab достигается единственным $сточностьюдосимметрии$ прямоугольником с вершинами $\pm a/\surd 2,\pm b/\surd 2$. Методы: параметризация — самый короткий и наглядный; Лагранж — общий и формальный; алгебраический — удобен для редукции до одномерной задачи.