Коротко суть парадокса. Рассмотрим окружность радиуса R $можноположитьR=1$. Пусть нас интересует вероятность того, что случайная хорда длиннее стороны вписанного равностороннего треугольника. Эта сторона равна L0 = √3·R, а хорда длины L соответствует расстоянию d её середины от центра через формулу L = 2√$R^2-d^2$. Условие L > L0 ⇔ d < R/2. При этом «случайная хорда» можно знать описать разными способами — и три естественных описания дают разные ответы: 1/3, 1/2 и 1/4. Ниже — примеры, их расчёты, объяснение неоднозначности и рекомендации, как выбирать модель в приложениях.

1) Три способа выбора и вычисления вероятности

а) Два случайных конца на окружности $методконцов$

Правило: выбирают два точечных на окружности независимо и равномерно; берут хорду между ними.Расчёт $дляR=1$: зафиксируем первый конец; второй имеет равномерный угол φ ∈ $$0,2\pi ).Малыйцентральныйуголмеждуточками\theta распределёнравномернона[0,\pi$$. Хорда длиннее √3 тогда, когда θ > 2π/3. Вероятность = $\pi -2\pi /3$/π = 1/3.

б) Выбор точки на радиусе и хорда, перпендикулярная радиусу $методрадиуса$

Правило: выбирается направление радиуса равномерно, затем на этом радиусе выбирают точку с равномерным расстоянием r ∈ $$0,R$$ от центра; проводят хорду, перпендикулярную радиусу в этой точке.Расчёт: расстояние хорды от центра равно r и равномерно распределено на $$0,R$$. Условие d < R/2 даёт вероятность $R/2$/R = 1/2.

в) Равномерный выбор середины хорды $методсередины$

Правило: выбирают точку равномерно по площади внутри круга и берут хорду с этой точкой как серединой; ориентация хорды берут равномерной $илионаневажна—длиназависиттолькоотрасстоянияточкидоцентра$.Расчёт: условие d < R/2 означает, что середина лежит в круге радиуса R/2. Площадная вероятность = area$R/2$/area$R$ = $\pi (R/2{)}^2$/$\pi R^2$ = 1/4.

2) Откуда берётся неоднозначность

Парадокс не в математике, а в неточности постановки: «случайная хорда» не однозначно определяется без описания механизма выборки. Разные естественные процедурные определения приводят к разным мерам на пространстве хорд, и, следовательно, к разным вероятностям.Классическое применение принципа равной неосведомлённости $principleofindifference$ неопределённо: на какое именно множество параметров накладывать равномерное распределение — на угловую координату точки середины, на радиальную координату, на положение концов и т. д.? Разные одинаково «естественные» параметризации неэквивалентны и дают разные инвариантности.

3) Физически обоснованное разрешение $примерДжейнса$ и его смысл

E. T. Jaynes предложил подход «групп преобразований/симметрии»: выбрать такую меру, которая инвариантна относительно преобразований, которые по смыслу не меняют условия эксперимента. Для хорд это обычно инвариантность по поворотам и по параллельному переносу линии $еслифизическаяпроцедура—бросаниедлинныхпрямыхпалочек/соломинокнаплоскостьсоднороднымраспределениемположенийиориентаций$.Физическая модель «бросаем длинную соломинку случайно» $равномерныориентацияиположениелиниинаплоскости$. Тогда расстояние от центра круга до прямой $аэтотажевеличинаdдляхорды$ распределено равномерно на $$0,R$$ при условии пересечения круга → даёт вероятность 1/2. Иначе говоря: если процесс генерирует хорд как пересечение случайной прямой $сравномернымраспределениемориентацийисмещений$ с данным кругом, то ответ 1/2.Важно: эта «физически обоснованная» модель имеет смысл только если именно так реально генерируются хорды в приложении $например,линиипадаютсравномернымплотностнымраспределениемпоплощадиинаправлениям$. Для других реализаций физически правильным будет другой ответ.

4) Практические критерии выбора модели в прикладных задачах
Если в задаче встречается «случайная хорда», прежде чем брать какую-либо универсальную формулу, следует:

Ясно специфицировать механический/статистический механизм генерации хорд: что можно считать первичными случайными величинами $концы,середины,параметрыпрямойит.п.$?Подумать, какие симметрии и инвариантности действительно оправданы физически $повороты,переносы,масштабирование$ — требовать только те инвариантности, которые соответствуют реальной процедуре.Проверить операциональную реализуемость: можно ли в реальном эксперименте или симуляции реализовать выбранную процедуру? Если да — используйте её.Оценить чувствительность результатов: выполнить анализ устойчивости — как меняется ответ при малой модификации модели. Если вероятность сильно зависит от мелких деталей, это нужно явно указать.Принцип максимальной энтропии: если есть только набор объективных ограничений $например,известнасимметрияпоповоротамисреднеезначениенекоторыхвеличин$, то можно выбрать распределение, максимизирующее энтропию при этих ограничениях — это формальный способ инкорпорировать «неосведомлённость».Согласование с данными: если есть наблюдения $эксперимент,имитация$, выбрать модель, которая лучше описывает эмпирическую генерацию хорд.

5) Вывод

Берна́ртов парадокс показывает не противоречие в теории вероятностей, а важность явного задания вероятностной меры: «случайный объект» требует описания механизма случайности.Нет единственно правильного ответа «по умолчанию»: 1/3, 1/2 или 1/4 — все корректны при соответствующих предположениях.В прикладных задачах руководствуйтесь физикой или процессом генерации, требуйте явного описания модели, проверяйте инвариантности и устойчивость результатов.

Если хотите, могу:

привести формальные выкладки для каждого метода с рисунками $схемами$ и подробными вычислениями;смоделировать численно эти три способа и показать распределения d и L;помочь выбрать подходящую модель для конкретной практической задачи $опишите,какхордреальнополучаетсяввашейзадаче$.