Решим sqrt$x+2$ + x = 4.

1) Область определения: подкоренное выражение ≥0, значит x ≥ −2.

2) Изолируем корень: sqrt$x+2$ = 4 − x. Отсюда сразу требование 4 − x ≥ 0, т.е. x ≤ 4. Итого возможность решений только при x ∈ $$-2,4$$.

3) Возводим в квадрат $здесьнужнобытьосторожным—операциянеэквивалентнабезпроверкизнаков,поэтомузаранееограничилиxтак,чтобыправаячастьнебылаотрицательной$:
$x+2$ = $4-x$^2 = 16 − 8x + x^2.
Переносим всё в одну сторону:
x^2 − 9x + 14 = 0.
Дискриминант D = 81 − 56 = 25, корни x = $9\pm 5$/2, т.е. x = 7 или x = 2.

4) Проверка в исходном уравнении $обязательно,чтобыотсеятьпосторонниекорни$:

x = 2: sqrt$4$ + 2 = 2 + 2 = 4 — подходит.x = 7: sqrt$9$ + 7 = 3 + 7 = 10 ≠ 4 — посторонний корень $возникпривозведениивквадрат$.

Ответ: x = 2.

Какие шаги требуют особой осторожности и как избежать/обнаружить посторонние корни:

Возведение в квадрат может ввести лишние решения $например,еслиоднасторонаравнаотрицательномучислу,A=-B,топослеA^2=B^2ониравны$. Поэтому:
заранее ограничьте допустимые x по знаку выражений $какмысделали:потребовали4-x\ge 0$,или используйте замену t = sqrt$x+2$ ≥ 0, тогда x = t^2 − 2 и уравнение превращается в многочленное для t с автоматическим учётом неотрицательности t $внашемслучаеt^2+t-6=0,даётt=2,t=-3(отбросить)\to x=2$,и обязательно подставляйте найденные корни в исходное уравнение для проверки.Дополнительно можно заметить, что функция f$x$=sqrt$x+2$+x−4 монотонно возрастает на [−2,∞), значит корень единственный — это дополнительно подтверждает результат.