Коротко — вычленять корни x=1 и x=−1 и использовать чётность/нечётность степеней.

Конкретно:

Так как P$1$=0 и P$-1$=0, многочлен делится на $x-1$$x+1$=x^2−1. Поэтому
P$x$ = $x^2-1$$x^2+ux+v$,
где u,v — целые $потомучтокоэффициентыPцелые$.

Развернув и сравнив коэффициенты:
P$x$=x^4 + u x^3 + $v-1$ x^2 − u x − v,
откуда
a = u, b = v−1, c = −u, d = −v.
Следствия $удобныесимметрии$:
a + c = 0, b + d = −1, 1 + a + b + c + d = 0 $т.е.суммакоэффициентов=0$.

Поэтому все искомые многочлены задаются парой целых $u,v$ или эквивалентно всеми целыми a,b,c,d, удовлетворяющими
c = −a, b + d = −1.
$Бесконечнаясемейство—никакихдругихограниченийотусловиялишьна\pm 1.$

Доп. замечания/методы, которые полезно применять:

Подстановка x↦−x даёт те же соотношения для нечётных/чётных коэффициентов $антисимметриянечётныхкоэффициентов$.

Представление как сумма чётной и нечётной частей: P$x$ = $x^4+b{x}^2+d$ + a$x^3-x$ удобно для анализа симметрий.

Для поиска кратных корней проверяйте, даёт ли квартический множитель x^2+ux+v нули ±1:
— корень 1 кратный, если 1+u+v = 0;
— корень −1 кратный, если 1−u+v = 0.
В частности, если одновременно оба равенства выполняются, то u=0, v=−1 и P$x$ = $x^2-1$^2.

Если нужны дополнительные целочисленные корни, применяйте теорему о рациональных корнях $делителиd$ к оставшемуся квадратичному множителю.

Итого: основной и самый простой приём — вынести $x^2-1$ и перейти к параметризации через целые u,v; альтернативно получать те же соотношения сразу суммой и разностью условий P$1$=0 и P$-1$=0.