Ключевая наблюдаемая особенность. Пусть H — проекция A на прямую BC $AH\perp BC$. По условию AH одновременно и высота, и биссектриса угла A. Из теоремы о биссектрисе:

AB/AC = BH/CH.

С другой стороны, в прямоугольных треугольниках ABH и ACH имеем
AB² = h² + BH², AC² = h² + CH² $гдеh=AH$.

Подставляя в отношение биссектрисы и возводя в квадрат получаем
$h^2+B{H}^2$/$h^2+C{H}^2$ = BH²/CH²,
откуда $таккакh\ne 0$ следует BH = CH.

Итак H — середина отрезка BC, а значит AH — перпендикулярный биссектор BC; следовательно AB = AC $треугольникравнобедренный$.

Построение $элементарно,сциркулемилинейкой$

Дано: отрезок BC и отрезок $величина$ h > 0. Постройте середину M отрезка BC $пересечениемедианилипостроениесерединногоперпендикуляра$. Проведите через M перпендикуляр к BC. На этом перпендикуляре отложите от прямой BC в обе стороны отрезок равный h $переносомданногоотрезкациркулем$: получите 1 или 2 точки A $надиподпрямойBC$. Соедините полученную точку A с B и C — это искомый треугольник$и$.

Обоснование корректности: из доказанного H = M, поэтому вершина A должна лежать на перпендикуляре через M на расстоянии h от BC; любые такие точки дают треугольник с AH ⟂ BC и AH — биссектриса $симметриясторонотносительноAH$.

Уникальность и особые случаи

Если h = 0 — вы получаете вырожденный треугольник $AсовпадаетсM$. Если h > 0, то обычно существует ровно два треугольника $симметричныеотносительнопрямойBC$: A расположена по одну или по другую сторону от BC. Если дополнительно задана сторона, «над» или «под» BC, получаем единственное решение. Если вместо конкретного отрезка BC задана только длина |BC| $безфиксированныхточек$, то решений бесконечно много $можноперемещать/вращатьотрезокBCвплоскости$: конструкция тогда уникальна только с точностью до движений.

Какие геометрические идеи использованы

Теорема о биссектрисе $AB/AC=BH/CH$. Пифагоровы соотношения в прямоугольных треугольниках для выражения AB и AC через h и BH, CH. Симметрия $отражениеотносительноAH$: отражение переводит AB в AC и, в этом частном случае, B в C, поэтому H — середина BC.

Это вся конструкция и её обоснование.