Найдём sin$2arctanx$ и объясним выбор метода.

Пусть θ = arctan x. Тогда θ — главный аргумент тангенса, т.е. θ ∈ $-\pi /2,\pi /2$ и tan θ = x. Используем формулу двойного угла для синуса:
sin 2θ = 2 sin θ cos θ.

Выразим sin θ и cos θ через tan θ = x.
Из tan θ = sin θ / cos θ следует sin θ = x cos θ. Подставим в тождество sin^2 θ + cos^2 θ = 1:
$xcos\theta$^2 + cos^2 θ = 1 ⇒ cos^2 θ $1+x^2$ = 1 ⇒ cos^2 θ = 1/$1+x^2$.

Поскольку θ ∈ $-\pi /2,\pi /2$, cos θ > 0, значит
cos θ = 1/√$1+x^2$,
sin θ = x/√$1+x^2$.

Теперь
sin 2θ = 2 sin θ cos θ = 2 · $x/\surd (1+x^2)$ · $1/\surd (1+x^2)$ = 2x/$1+x^2$.

Итого:
sin$2arctanx$ = 2x / $1+x^2$.

Ограничения на x:

arctan x определён для всех вещественных x, и при этом cos θ ≠ 0 $\theta \ne \pi /2+k\pi$ — в нашем случае θ ∈ $-\pi /2,\pi /2$, так что проблем нет. Поэтому полученное тождество верно для всех x ∈ R.

Кратко про выбор метода: удобнее всего взять θ = arctan x и применить формулу sin 2θ = 2 sin θ cos θ, выразив sin и cos через tan $илигеометрическичерезпрямоугольныйтреугольник$. Это даёт компактную форму без обращения к таблицам.