Рассмотрим ряд
a_n = $-1$^{n+1} \frac{n}{n^2+1}, \; n=1,2,\dots

1) Сходимость $условная$ — тест Лейбница $чередующийсяряд$.
Обозначим b_n = n/$n^2+1$ (>0). Нужно проверить два условия Лейбница:

b_n монотонно убывает для n ≥ 1:
сравним bn и b{n+1}:
n$(n+1{)}^2+1$ − $n+1$$n^2+1$ = n^2 + n − 1 ≥ 0 для n ≥ 1,
значит bn ≥ b{n+1} для n ≥ 1.lim_{n→∞} b_n = 0, так как b_n ~ 1/n → 0.
По тесту Лейбница ряд ∑ $-1$^{n+1} b_n сходится.

2) Абсолютная сходимость — сравнение с гармоническим рядом.
Рассмотрим ряд абсолютных величин ∑ bn. По предельному сравнению с 1/n:
lim{n→∞} b_n/$1/n$ = lim n^2/$n^2+1$ = 1 ≠ 0,
значит ∑ b_n ведёт себя как гармонический ряд и расходится. Следовательно исходный ряд не абсолютно сходится, а лишь условно.

3) Последствия для перестановок членов.
Поскольку ряд условно сходящийся $неабсолютно$, перестановки членов могут изменить значение суммы. Конкретно, по теореме Римана о перестановках: если ряд вещественных чисел сходится условно, то существует перестановка членов, при которой ряд:

сходится к любому заранее заданному действительному числу, илирасходится $втомчислек\pm \infty$.
Интуитивное объяснение: сумма всех положительных членов $длянашегорядаэточленыснечётнымиn$ расходится в +∞, а сумма всех отрицательных членов расходится в −∞, поэтому, выбирая соответствующую последовательность положительных и отрицательных членов, можно добиться любого результата.

Замечания:

Любая конечная перестановка $переставитьконечноечислочленов$ не меняет сумму.Если ряд был бы абсолютно сходящим, то любые перестановки не изменяли бы сумму; для условно сходящихся рядов такого гаранта нет.

Итого: ряд ∑_{n=1}^∞ $-1$^{n+1} n/$n^2+1$ сходится $поЛейбницу$, но не абсолютно $попредельномусравнениюс1/n$. Из-за условной сходимости перестановки членов могут менять значение суммы $теоремаРимана$.