Можно. Пусть n — такое число, и d2, d3 — количество цифр у n^2 и n^3. Нужно d2 + d3 = 10. Для n ≥ 100 имеем d2 ≥ 5, d3 ≥ 7, значит d2 + d3 ≥ 12, поэтому n < 100. Для n ≤ 46 имеет место n^3 < 100000 $\le 5цифр$, а n^2 ≤ 2116 $\le 4цифр$, так что d2 + d3 ≤ 9. Следовательно единственная возможность — n ∈ $$47,99$$, при этом n^2 имеет 4 цифры, n^3 — 6 цифр.

Далее сумма всех десяти цифр 0..9 равна 45, значит десятизначное склейка n^2 и n^3 должна делиться на 9. Это даёт условие n^2$1+n$ ≡ 0 $mod9$, откуда n ≡ 0,3,6 или 8 $mod9$. Это даёт конечный набор кандидатов $24числа$ в интервале $$47,99$$, которые легко перебрать вручную; исключаются числа, оканчивающиеся на 0 или 5 $повторяющиесянулиилипятёрки$, а из оставшихся при проверке только одно даёт десятизначное число, содержащее все десять цифр по одному разу:

69^2 = 4761, 69^3 = 328509, склейка 4761328509 содержит цифры 0,1,2,...,9 ровно по одному разу.

Таким образом Настя права: существует ровно одно такое натуральное число — 69.