Короткая формулировка задачи: (f) непрерывна на ([0,1]), дифференцируема на ((0,1)) и (f(0)=f(1)). Надо показать, что существует (c\in(0,1)) с (f'(c)=0).

1) Классическое доказательство (Ролль через экстремум + лемму Ферма).

Если (f) тождественно константа на ([0,1]), то любое (c\in(0,1)) подходит.Иначе (f) достигает на ([0,1]) максимума или минимума в некоторой точке (c). так как (f(0)=f(1)), по крайней мере один экстремум не находится одновременно в обоих концах, значит есть экстремум в интерьере ((0,1)).Лемма Ферма: если (f) дифференцируема в (c) и имеет экстремум в (c), то (f'(c)=0). Следовательно найдено (c) с (f'(c)=0).
Комментарий: очень простой и элементарный аргумент; не требует теорем о производной помимо определения и экстремума (только теорема о существовании глобального экстремума для непрерывных функций на компакте).

2) Сразу из теоремы Лагранджа (Mean Value Theorem).

Теорема Лагранджа: для непрерывной на ([0,1]) и дифференцируемой на ((0,1)) функции существует (c\in(0,1)) такой, что
[
f'(c)=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}.
]Отсюда, так как (f(1)=f(0)), получаем (f'(c)=0).
Комментарий: самое короткое доказательство, но оно требует в качестве аксиомы/теоремы знание MVT; Rolle — частный случай MVT.

3) Доказательство через непротиворечивость знака производной (с использованием свойства Дарбу).

Предположим противное: (f'(x)\neq 0) при всех (x\in(0,1)). По теореме Дарбу производная обладает свойством промежуточных значений, поэтому (f') не может поменять знак, значит либо (f'(x)>0) на всём ((0,1)), либо (f'(x)<0) на всём ((0,1)).В первом случае (f) строго возрастает и тогда (f(1)>f(0)), во втором — строго убывает и (f(1)<f(0)). Оба противоречат (f(1)=f(0)). Значит предположение ложно и существует (c) с (f'(c)=0).
Комментарий: этот вариант короче и использует свойство Дарбу; минус — Дарбу более техническая теорема (напр., выводится из теоремы о среднем значении и пределов производных).

4) Приближённый / конструктивный подход через разбиение и теорему Лагранджа (интуитивный).

Разобьём ([0,1]) на (n) равных частей (0=x_0<x_1<\dots<x_n=1) с (xk=k/n). По теореме Лагранджа для каждого отрезка ([x{k},x_{k+1}]) найдётся (\xi_k\in(xk,x{k+1})) такой, что
[
f'(\xik)=n\bigl(f(x{k+1})-f(x_k)\bigr).
]Суммируя по (k) получаем
[
\sum_{k=0}^{n-1} f'(\xik)=n\sum{k=0}^{n-1}\bigl(f(x_{k+1})-f(x_k)\bigr)=n\bigl(f(1)-f(0)\bigr)=0.
]Если бы все (f'(\xi_k)) были строго положительны (или строго отрицательны), то сумма была бы строго отлична от нуля; значит среди чисел (f'(\xi_k)) есть и неотрицательные и неположительные. При аккуратном проходе к пределу (n\to\infty) (или выбирая подпоследовательности) можно извлечь квазиконструктивную точку, где производная стремится к (0), и затем, используя свойства производной, получить точку с (f'(c)=0).
Комментарий: этот метод даёт интуицию и приближённую (численно реализуемую) процедуру поиска точки с малой/нулевой производной; формально требует дополнительной аргументации при сведении предельного шага (или компактности) к существованию именно нулевой производной.

Сравнение подходов — сильные и слабые стороны:

Экстремум+Ферма: очень простой, элементарный, конструктивно указывает на точку экстремума; минимальные предпосылки. Недостаток — не даёт формулы для (c), только существование.Теорема Лагранджа: ещё короче и прямее (непосредственно (f'(c)=0)); удобна, когда MVT уже известна. Недостаток — опирается на MVT (более сильная теорема).Подход через Дарбу: короткое доказательство-противоречие, явно использует свойство промежуточных значений производной; сильнее теоретически (показывает, что отсутствие нуля ведёт к монотонности и противоречию). Минус — требует более глубокой теоремы (Дарбу).Приближённые/разностные методы: полезны для численного поиска точки с малой производной и дают интуицию; формально требуют аккуратного предельного перехода, иногда дают только приближение, а не явную точку.

Вывод: все подходы приводят к одному и тому же выводу (Rolle). Для чистого теоретического доказательства обычно используют либо экстремум+Ферма, либо MVT; более продвинутые рассуждения (Дарбу, разбиения) дают дополнительные сведения или численные подходы.