Коротко: для конечномерной матрицы утверждение верно (над любым полем). Тонкости возникают при формулировке и в бесконечномерном случае.

Пояснения и контрприменты.

1) Конечномерный случай (матрица (n\times n)). Пусть собственные значения взяты в алгебраическом замыкании поля (например, над (\mathbb C) для вещественной матрицы). Тогда
[
\det A=\prod_{i=1}^n\lambda_i.
]
Если все (\lambda_i\neq0), то (\det A\neq0), значит (A) обратима. Эквивалентно: (A) обратима тогда и только тогда, когда (0) не является собственным значением (в том же базовом поле), потому что (A) сингулярна (\iff) существует ненулевой вектор (v) с (Av=0).

Пример (реальная матрица с комплексными собственными значениями):
[
A=\begin{pmatrix}0&-1\1&0\end{pmatrix},
]
собственные значения (\pm i) (ненулевые), и (A) обратима.

2) Бесконечномерный случай (линейный оператор на бесконечномерном пространстве). Здесь спектр (\sigma(A)) шире множества собственных значений: возможно (0\in\sigma(A)) без собственных векторов с собственным значением (0). Контрпример: сдвиг вправо (S) в (\ell^2), (S(en)=e{n+1}). Тогда (S) инъективен (нет ненулевого (x) с (Sx=0), значит (0) не является собственным значением), но не сюръективен (например (e_1) не в образе), следовательно (S) необратим. Таким образом формулировка «все собственные значения ненулевые ⇒ обратима» неверна для операторов в бесконечной размерности.

3) Итог:

Для матриц (конечномерных) над любым полем: верно — отсутствие нулевого собственного значения эквивалентно обратимости.Для бесконечномерных операторов: неверно — нужно говорить про спектр (наличие (0) в спектре эквивалентно необратимости), а собственные значения могут не отражать всю картину.