Пример ложного «доказательства» (классический):

Пусть (\,a=b.\,)

Тогда
[
a^2=ab.
]
Вычтем (b^2):
[
a^2-b^2=ab-b^2.
]
Свернём разности квадратов:
[
(a-b)(a+b)=b(a-b).
]
Сократим множитель ((a-b)) и получим
[
a+b=b.
]
Подставляя (a=b) даёт (2b=b), а при (b\neq0) деление на (b) даёт (2=1).

Анализ — где ошибка

Недопустимая операция происходит на шаге «сокращения» множителя ((a-b)) в равенстве
[
(a-b)(a+b)=b(a-b).
]
Поскольку изначально положено (a=b), имеем ((a-b)=0). Деление или сокращение на ноль запрещено: правило сокращения (или закон отмены умножения) применимо только если множитель, на который делят, не равен нулю. Формально: из (\,E\cdot X = E\cdot Y) можно сделать вывод (X=Y) только при условии (\,E\neq0).

Как правильно формулировать условия и избегать подвоха

При делении или сокращении явно указывать и проверять условие ненулевости знаменателя/множителя. В нашем примере необходимо требовать ((a-b)\neq0) перед сокращением.Если изначально (a=b), то уравнение ((a-b)(a+b)=b(a-b)) превращается в (0=0) — тождество, не дающее новой информации и не приводящее к (a+b=b).При последующем делении на (b) явно требовать (b\neq0). Если (b=0) — и это отдельный случай, который надо рассмотреть отдельно.Общая рекомендация при преобразованиях: любое действие «разделить на выражение (E)» эквивалентно «применить только в том случае, если (E\neq0)»; в обратном случае нужно рассмотреть отдельный случай (E=0) и проверить, не порождает ли он тождество или дополнительные решения.

Коротко: недопустимая операция — сокращение на ((a-b)) при (a=b) (то есть деление на ноль). Чтобы избежать подвоха, всегда проверяйте и явно оговаривайте условия ненулевости знаменителей/множителей и отдельно рассматривайте случаи, когда они равны нулю.