Кратко — в ошибочном доказательстве подставлено неверное равенство: предполагается, что биссектриса делит противоположную сторону пополам. Это не так в общем случае.

Пояснение ошибки:

Пусть (AD) — биссектриса угла (A) треугольника (ABC), точка пересечения с (BC) — (D). Частая неверная ступень — утверждение (BD=DC). По теореме о биссектрисе истинно только
[
\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC},
]
поэтому (BD=DC) влечёт (AB=AC), а не является тождеством для произвольного треугольника. Ошибка — путать биссектрису с медианой.

Корректная модификация условий, при которых утверждение верно:

Если каждая биссектриса совпадает с медианой (т.е. каждая биссектриса делит противоположную сторону пополам), то треугольник равносторонний. Доказательство: если (AD) — и биссектриса, и медиана, то (BD=DC) и (\angle BAD=\angle CAD); тогда треугольники (ABD) и (ACD) равны по признаку SAS, следовательно (AB=AC). Аналогично из других двух биссектрис получаем (AB=BC=CA).Достаточно даже, чтобы две биссектрисы были медианами — это уже даёт две равенства сторон и, следовательно, равносторонний треугольник.Эквивалентные условия: инцентр совпадает с центром тяжести или с описанным/вписанным центром при соответствующих дополнительных свойствах также приводят к равносторонности, но самое простое и прямое условие — «все биссектрисы — медианы» (или хотя бы две из них).

Итого: ошибка — неверное применение свойства биссектрисы (принятие её за медиану). Условие «биссектрисы делят стороны пополам (хотя бы две)» исправляет рассуждение и делает утверждение верным.