Матрица задана как (\displaystyle A(t)=\begin{pmatrix}2 & t\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}). Собственные значения, алгебраическая кратность и минимальный многочлен:

Спектр: единственное собственное значение (\lambda=2) с алгебраической кратностью (2) при всех (t).Минимальный многочлен: для (t=0) — ((\lambda-2)), для (t\neq0) — ((\lambda-2)^2).

Геометрическая кратность (пространство собственных векторов):
Решаем ((A(t)-2I)v=0):
[
(A(t)-2I)=\begin{pmatrix}0 & t\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},\qquad
\begin{pmatrix}0 & t\0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}t y\0\end{pmatrix}=0.
]
Отсюда при (t\neq0) имеем (y=0) и пространство собственных векторов одномерно, порожденно вектором (\begin{pmatrix}1\0\end{pmatrix}) (геометрическая кратность (1)). При (t=0) матрица равна (2I), все векторы — собственные, геометрическая кратность (2).

Диагонализируемость над (\mathbb{R}) и (\mathbb{C}):

Для (t=0): (A(0)=\mathrm{diag}(2,2)) — диагонализируема над (\mathbb{R}) и (\mathbb{C}).Для (t\neq0): геометрическая кратность (1<2) ⇒ не диагонализируема ни над (\mathbb{R}), ни над (\mathbb{C}).

Жорданова нормальная форма:

Для (t=0): (\begin{pmatrix}2&0\0&2\end{pmatrix}) (две (1\times1) блока).Для (t\neq0): единый жорданов блок размера (2):
[
J=\begin{pmatrix}2&1\[4pt]0&2\end{pmatrix},
]
поскольку при (t\neq0) матрицу можно привести подобием диагональным масштабированием к виду с единицей над диагональю.

Влияние малой деформации параметра:

Точка (t=0) является вырожденной: при любом сколь угодно малом ненулевом возмущении (t) матрица перестаёт быть диагонализируемой, геометрическая кратность скачком падает с (2) до (1), хотя алгебраическая кратность остаётся (2). То есть диагонализируемость здесь нестабильна относительно малых возмущений.