Короткий ответ: решений бесконечно много (параметризуются точкой касания на $AB$). Самые естественные подходы — простая евклидова конструкция через выбор точки касания, инверсия в центре $P$ и аналитический метод. Теорема Апполония и симметрия здесь менее естественны (Apollonius даёт условия для отношения расстояний между точками, а у нас точка — и прямая). Ниже — стратегии, шаги и сравнение.
1) Прямая геометрическая конструкция (наиболее простая, прямой метод)
- Идея: пусть $T$ — точка касания на $AB$ (произвольная). Центр искомой окружности $O$ лежит на перпендикуляре к $AB$ через $T$ и при этом $OT=OP$. Это значит, что $O$ — пересечение перпендикуляра к $AB$ в $T$ и серединного перпендикуляра к отрезку $PT$.
- Построение: выбрать $T\in AB$; провести перпендикуляр к $AB$ в $T$; построить середину и серединный перпендикуляр к $PT$; их пересечение даёт $O$. Окружность с центром $O$ радиуса $OT$ проходит через $P$ и касается $AB$ в $T$.
- Формула (если взять $AB$ за ось $x$, $P=(x_0,y_0)$, $T=(t,0)$): центр имеет координаты $(t,k)$ с
$$k=\frac{(t-x_0{)}^2+y_0^2}{2y_0},$$ радиус $r=k$.
- Плюсы: простая прямолинейная конструкция строго циркулем и линейкой; даёт все решения, параметризуемые $T$.
- Минусы: чтобы получить конкретную единственную «особенную» окружность нужен критерий выбора $T$.
2) Инверсия с центром в $P$ (наиболее концептуально и часто удобна)
- Идея: инверсия в центре $P$ переводит любую окружность, проходящую через $P$, в прямую; прямую $AB$ (не проходящую через $P$) переводит в окружность $\gamma$, проходящую через образ $P$. Требование касания сохраняется: искомая окружность ↔ прямая, касательная к $\gamma$.
- Построение: выполнить инверсию (можно радиус выбрать произвольно): получить образ $\gamma$ линии $AB$ (например, образом двух точек $A,B$ на $AB$ строите окружность через их образы и $P$); затем провести любую касательную к $\gamma$ (каждой касательной соответствует одна искомая окружность); инвертировать эту касательную обратно — получите окружность, проходящую через $P$ и касающуюся $AB$.
- Плюсы: проблема сводится к стандартной задаче «провести касательную к окружности»; даёт хорошую глобальную картину всех решений; удобна для теоретического изучения и для выбора особых решений (например, касательная в заданной точке).
- Минусы: требуется умение реализовать инверсию в практике (на чертеже — конструктивно выполнимо, но чуть громоздче); те же бесконечно много решений.
3) Аналитический подход (наиболее удобен для вычислений/программ)
- Идея: ввести координаты, записать условие касания «расстояние центра до прямой $AB$ равно расстоянию до $P$» и решить уравнения.
- Пример ( $AB:y=0$, $P=(x_0,y_0)$, центр $(h,k)$ ): условие
$$(h-x_0{)}^2+(k-y_0{)}^2=k^2$$ или
$$(h-x_0{)}^2=2k{y}_0-y_0^2.$$ Для центра на перпендикуляре в $T=(t,0)$ получаем $h=t$ и формулу из п.1: $k=\frac{(t-x_0{)}^2+y_0^2}{2y_0}$.
- Плюсы: даёт явные формулы, легко программировать, анализировать число/положение решений.
- Минусы: не даёт компактной чисто «геометрической» постройки циркулем и линейкой (хотя по формулам можно численно построить).
4) Апполоний и симметрия — почему они менее естественны
- Апполоний обычно даёт множество точек, у которых отношения расстояний до двух фиксированных точек постоянны; здесь одна «дистанция» — до прямой, поэтому прямая модель неявна. Можно попытаться свести задачу к Apollonius через отражение $P$ в $AB$, но это не даёт простого прямого условия (отрефлексированная точка не обязательно лежит на той же окружности).
- Симметрия (отражение $P$ в $AB$) не превращает задачу в тривиальную: круг, касающийся $AB$ в $T$ и проходящий через $P$, в общем случае не содержит отражение $P^{\prime }$, так что отражение не даёт мгновенного центра.
Краткое сравнение
- Простая евклидова конструкция (через выбор точки касания $T$): максимально простая на чертеже, даёт все решения явно и конструктивно.
- Инверсия: концептуально элегантна, превращает задачу в «провести касательную к окружности», полезна для теории и выбора специальных решений.
- Аналитика: даёт формулы и удобна для чисел и программ, но не обязательно — для ручной постройки.
- Апполония/симметрия: редко удобны напрямую для этой задачи.
Вывод: для практической постройки любая точка касания $T$ на $AB$ даёт конструкцию циркулем/линейкой (перпендикуляр в $T$ и серединный перпендикуляр к $PT$). Для теоретического упрощения и понимания множества решений естественна инверсия в $P$. Для вычислений — аналитический метод.