Ответ: упрощённый вид
$${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=1-2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2x=\frac{3+\cos 4x}{4}.$$
Способы (кратко):
1) Используя $a^4+b^4=(a^2+b^2{)}^2-2a^2{b}^2$:
$${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x{)}^2-2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=1-2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x.$$ Дальше ${\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=\frac{1}{4}{\sin }^{2}2x$ даёт $1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2x$, и подстановка ${\sin }^{2}2x=\frac{1-\cos 4x}{2}$ даёт $\frac{3+\cos 4x}{4}$.
2) Через понижение степени сразу:
$${\sin }^{4}x=(\frac{1-\cos 2x}{2}{)}^2=\frac{1-2\cos 2x+{\cos }^{2}2x}{4},{\cos }^{4}x=(\frac{1+\cos 2x}{2}{)}^2=\frac{1+2\cos 2x+{\cos }^{2}2x}{4}.$$ Сумма даёт $\frac{1+1+2{\cos }^{2}2x}{4}=\frac{1+{\cos }^{2}2x}{2}$, дальше ${\cos }^{2}2x=\frac{1+\cos 4x}{2}$ — тот же результат $\frac{3+\cos 4x}{4}$.
3) Через разложение в косинус кратного угла (быстро для интеграла):
используя готовое тождество ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=\frac{3+\cos 4x}{4}$.
Сравнение длины и ясности:
- Самый короткий и очевидный приёмо́м — способ (1) с $(a^2+b^2{)}^2-2a^2{b}^2$: одна строка логики, минимально алгебры.
- Способ (2) длиннее арифметически, но систематичен — полезен, если требуется понижать степени у каждой функции отдельно.
- Запись через $\cos 4x$ компактна и наглядна (период, среднее значение, амплитуда).
Рекомендации для дальнейших задач:
- Для интегрирования: лучше форма $\frac{3+\cos 4x}{4}$ — интеграл сводится к интегралу косинуса.
- Для предельных переходов и оценки диапазона: форма $1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2x$ даёт сразу диапазон значений $[1/2,1]$ и удобно для малы́х углов (используя разложение $\sin 2x\approx 2x$).
- Для алгебраических преобразований и упрощений при композициях функций — форма $1-2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x$ иногда более естественна.