Ответ: предел существует и равен $e$.
Краткие применимые методы:
1) Логарифмирование и предельное тождество $\underset{u\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+u)}{u}=1$.
2) Разложение в ряд Тейлора для $\sin x$ и $\ln (1+u)$.
3) Универсальная формула $\underset{u\to 0}{\lim }(1+u{)}^{1/u}=e$ с заменой $u=\sin x$.
Строгая схема доказательства (логарифмирование, минимальные предпосылки):
1. Обозначим $L=\underset{x\to 0}{\lim }(1+\sin x{)}^{1/x}$ (если предел существует и положителен, можно логарифмировать). Рассмотрим $\ln L=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+\sin x)}{x}$, при условии существования предела правой части.
2. Представим дробь как произведение
$$\frac{\ln (1+\sin x)}{x}=\frac{\ln (1+\sin x)}{\sin x}\cdot \frac{\sin x}{x}.$$ 3. Из известных пределов имеем $\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+t)}{t}=1$ и $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$. Так как при $x\to 0$ выполняется $\sin x\to 0$, получаем
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+\sin x)}{x}=1\cdot 1=1.$$ 4. Следовательно $\ln L=1$, откуда $L=e$.
Альтернативное (через ряды Тейлора): $\sin x=x+o(x)$ при $x\to 0$, поэтому $\ln (1+\sin x)=\sin x+o(\sin x)=x+o(x)$. Делением на $x$ получаем предел $1$, как выше, значит $L=e$.
Также можно использовать формулу $(1+u{)}^{1/u}\to e$: записать
$$(1+\sin x{)}^{1/x}=((1+\sin x{)}^{1/\sin x}{)}^{\sin x/x},$$ и при $x\to 0$ правая часть стремится к $e^1=e$.
Итого: $\underset{x\to 0}{\lim }(1+\sin x{)}^{1/x}=e$.