Рассмотрим последовательность $f_n(x)=x^n$ на $[0,1]$.
1) Точечная сходимость.
- Для $x\in [0,1)$ имеем ${\lim }_{n\to \infty }{x}^n=0$ (поскольку $0\le x<1$ и $x^n\to 0$).
- Для $x=1$ имеем ${\lim }_{n\to \infty }{1}^n=1$.
Итог: предельная функция
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}0,& 0\le x<1,\\ 1,& x=1.\end{array}$$
2) Равномерность на $[0,1]$.
- Сходимость неравномерна на $[0,1]$. Действительно,
$$\underset{x\in [0,1]}{\sup }|x^n-f(x)|=\underset{x\in [0,1)}{\sup }{x}^n=1$$ для любого $n$, поэтому расстояние в супремум‑норме до предельной функции не стремится к нулю.
3) Оценка скорости сходимости (точечно и по нормам).
- Для фиксированного $x\in [0,1)$ $$x^n=\exp (n\ln x),\ln x<0,$$ то есть сходимость экспоненциальная по $n$.
- Для диапазона, удалённого от 1: если $0\le x\le a<1$, то
$$\underset{x\in [0,a]}{\sup }{x}^n\le a^n,$$ так что на $[0,a]$ сходимость равномерна с экспоненциальной скоростью $a^n$.
- Поведение близко к 1: при $x_n=1-\frac{c}{n}$ имеем
$$x_n^n=(1-\frac{c}{n}{)}^n\to e^{-c},$$ отсюда видно, что нельзя получить равномерную оценку, стремящуюся к 0 на всей $[0,1]$.
4) Модификации области определения и норм, при которых сходимость становится равномерной.
- Ограничение области: на любом компактном подотрезке $[0,a]$ с $a<1$ сходимость равномерна (оценка $a^n$).
- Топология компакт‑открытого типа: на $[0,1)$ сходимость равномерна на каждом компактном подмножестве, но не на всём $[0,1)$.
- Замена нормы — $L^p$-нормы ($1\le p<\infty$): предельная функция равна 0 почти всюду, и
$$\Vert f_n{\Vert }_{L^p([0,1])}^p={\int }_0^1{x}^{np}dx=\frac{1}{np+1},$$ поэтому
$$\Vert f_n{\Vert }_{L^p([0,1])}=(np+1{)}^{-1/p}=O(n^{-1/p}),$$ то есть $f_n\to 0$ в $L^p$ с скоростью $n^{-1/p}$. Для $p=\infty$ сходимости нет.
- Взвешенная супремум‑норма: положим вес $w(x)=1-x$ и норму $\Vert g{\Vert }_w={\sup }_{x\in [0,1]}(1-x)|g(x)|$. Тогда
$$\underset{x\in [0,1]}{\sup }(1-x)x^n=\frac{1}{n+1}(\frac{n}{n+1}{)}^n\sim \frac{e^{-1}}{n}\to 0,$$ то есть $f_n$ сходится к предельной функции в этой взвешенной норме (скорость $O(1/n)$). Более общие веса $w(x)=(1-x{)}^{\alpha }$, $\alpha >0$, дают скорость примерно $O(n^{-\alpha })$.
Кратко: на $[0,1]$ сходимость точечная, но неравномерна; она равномерна на любых подотрезках, отстоящих от $1$, и становится равномерной в подходящих слабых нормах (например, $L^p$ для $p<\infty$) или в взвешенной супремум‑норте с весом, обнуляющимся в $x=1$.