Кратко и строго.
1) Случай разных собственных значений.
- Пусть $A$ — квадратная $n\times n$ матрица над поле $F$ и характеристический многочлен имеет $n$ различных корней ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ в $F$. Для каждого ${\lambda }_i$ возьмём невырожденный собственный вектор $v_i$, т.е. $(A-{\lambda }_{i}I)v_i=0$.
- Утверждение: векторы $v_1,\dots ,v_n$ линейно независимы. Доказательство стандартное: если ${\sum }_{i=1}^n{c}_i{v}_i=0$ и, скажем, $c_k\ne 0$, применяя многочлен ${\prod }_{i\ne k}(A-{\lambda }_{i}I)$ к этому равенству, все слагаемые, кроме того, где стоит $v_k$, обнулятся, и получим ненулевое скалярное кратное $v_k=0$ — противоречие, поскольку ${\lambda }_i$ различны. Следовательно есть $n$ линейно независимых собственных векторов, значит $A$ диагонализируема (существит базис из собственных векторов и $A$ подобна диагональной матрице).
2) Что меняется при кратных корнях (повторяющихся собственных значениях).
- Определения:
- Алгебраическая кратность $a_{\lambda }$ — кратность корня $\lambda$ характеристического многочлена.
- Геометрическая кратность $g_{\lambda }$ — размерность собственного подпространства $\ker (A-\lambda I)$.
- Всегда выполняется неравенство $1\le g_{\lambda }\le a_{\lambda }$.
- Необходимое и достаточное условие диагонализируемости: для каждого собственного значения $\lambda$ выполняется
$$g_{\lambda }=a_{\lambda },$$ или эквивалентно суммарно ${\sum }_{\lambda }{g}_{\lambda }=n$. То есть для каждого повторяющегося корня нужно иметь столько линейно независимых собственных векторов, сколько равна его алгебраическая кратность.
- Эквивалентные формулировки:
- Минимальный многочлен $m_A(t)$ не имеет повторяющихся линейных множителей (т.е. все корни простые).
- В жордановой нормальной форме $A$ имеет только блоки размера $1\times 1$ (если считать, что характеристический многочлен полностью распадается в поле $F$).
3) Примеры и критерии проверки.
- Недиагонализируемый пример: $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$. Здесь единственное собственное значение $\lambda =1$ с $a_1=2$, но $g_1=1$, значит $A$ не диагонализируема.
- Как проверять на практике: факторизовать характеристический многочлен (в поле $F$); для каждого корня вычислить $\dim \ker (A-\lambda I)$. Если для всех корней размерность равна их алгебраической кратности, то матрица диагонализируема.
4) Замечание про поле.
- Утверждения верны при условии, что все собственные значения лежат в рассматриваемом поле $F$ (например, над $\mathbb{C}$ характеристический многочлен всегда распадается). Если характеристический многочлен не распадается в $F$, то говорить о «$n$ различных собственных значениях в $F$» нужно аккуратно: диагонализируемость над $F$ требует наличия $n$ собственных значений (с учётом корней в $F$) и $n$ собственных векторов в пространстве над $F$.
Итого:
- «Если $A$ имеет $n$ различных собственных значений, то $A$ диагонализируема» — верно и доказуемо.
- При повторных собственных значениях требуется равенство геометрической и алгебраической кратностей для каждого собственного значения (эквивалентно простоте корней минимального многочлена или отсутствию жордановских блоков размером >1).