Приведён следующий «доказательный» аргумент: из сходимости интеграла ∫_0^1 f_n(x) dx к L не следует, что f_n сходится почти везде к функцию f; найдите конкретную последовательность функций, иллюстрирующую ошибочность обратного утверждения, и проанализируйте, какие дополнительные условия (например, доминирование, равномерная сходимость) могли бы сделать утверждение верным
Приведён следующий «доказательный» аргумент: из сходимости интеграла ∫_0^1 f_n(x) dx к L не следует, что f_n сходится почти везде к функцию f; найдите конкретную последовательность функций, иллюстрирующую ошибочность обратного утверждения, и проанализируйте, какие дополнительные условия (например, доминирование, равномерная сходимость) могли бы сделать утверждение верным
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
fn={1A,n нечётное,1B,n чётное. f_n=\begin{cases}
\mathbf{1}_A,& n\ \text{нечётное},\\[2pt]
\mathbf{1}_B,& n\ \text{чётное}.
\end{cases}
fn ={1A ,1B , n нечётное,n чётное. Тогда для всех nnn ∫01fn(x) dx=12\displaystyle\int_0^1 f_n(x)\,dx=\tfrac12∫01 fn (x)dx=21 , значит интегралы сходятся к L=12L=\tfrac12L=21 . Однако для любого x∈[0,1]x\in[0,1]x∈[0,1] последовательность fn(x)f_n(x)fn (x) принимает значения 1,0,1,0,…1,0,1,0,\dots1,0,1,0,… и потому не имеет предела (в частности, нет сходимости почти всюду). Это демонстрирует, что сходимость интегралов сама по себе не влечёт сходимости почти всюду.
Какие дополнительные условия могли бы сделать утверждение верным (достаточные условия)
- Равномерная сходимость: если fn→ff_n\to ffn →f равномерно на [0,1][0,1][0,1], то, конечно, fn→ff_n\to ffn →f почти везде. (Это сильное условие; оно сразу даёт и интегральную сходимость.)
- Сходимость в L1L^1L1: если ∫01∣fn−f∣ dx→0\displaystyle\int_0^1 |f_n-f|\,dx\to0∫01 ∣fn −f∣dx→0, то fn→ff_n\to ffn →f в мере, а из этого можно выделить подпоследовательность, сходящуюся почти всюду. (Чтобы получить сходимость всей последовательности почти всюду, нужно ещё более сильное свойство, например почти-равномерная сходимость.)
- Условие равномерной интегрируемости (Vitali): если {fn}\{f_n\}{fn } равномерно интегрируема и fn→ff_n\to ffn →f в мере, то по теореме Витали fn→ff_n\to ffn →f в L1L^1L1, откуда — подпоследовательность — почти всюду.
- Монотонность по индексу: если для каждого xxx последовательность fn(x)f_n(x)fn (x) монотонна (например, неубывает) и ненегативна, то предел по точкам существует; тогда при стандартных теоремах (напр., теорема о монотонной сходимости) сходимость интегралов соответствует интегралу предела. То есть монотонность даёт существование точечного предела, а согласованность с предельным интегралом обеспечивается дополнительными условиями интегрируемости.
- Ограничение в L^\infty: если ∥fn−f∥∞→0\|f_n-f\|_\infty\to0∥fn −f∥∞ →0 (равномерная норма), то есть почти та же, что равномерная сходимость; это даёт и почти всюду сходимость.
Замечание: одно только доминирование ∣fn∣≤g∈L1|f_n|\le g\in L^1∣fn ∣≤g∈L1 без предположения о точечной сходимости не даёт обратного вывода (то есть интегральная сходимость не влечёт a.e.-сходимости). Теоремы типа Достижение (Dominated Convergence) и Монотонной сходимости работают в направлении «точечная сходимость + дополнительные условия ⇒ сходимость интегралов», а не наоборот.