Короткий ответ: исходная формулировка некорректна в том виде, как она звучит для вывода «строго возрастает». Правильный вывод — неубывание; для строгого возрастания нужны более сильные предпосылки. Ниже — пояснение, контрпример и точные теоремы с доказательствами.
1) Противопример неверной формулировки.
Возьмём константную функцию $f(x)=C$ на $[a,b]$. Тогда $f$ непрерывна на $[a,b]$, дифференцируема на $(a,b)$ и $f^{\prime }(x)=0\ge 0$ для всех $x$, но $f$ не является строго возрастающей. Следовательно утверждение «$f^{\prime }(x)\ge 0$ всюду $\Rightarrow$ $f$ строго возрастает» неверно.
2) Корректная базовая теорема (неубывание).
Теорема. Пусть $f$ непрерывна на $[a,b]$ и дифференцируема на $(a,b)$. Если для всех $x\in (a,b)$ выполнено $f^{\prime }(x)\ge 0$, то $f$ неубывает на $[a,b]$ (то есть для любых $x_1<x_2$ имеет место $f(x_1)\le f(x_2)$).
Доказательство. Пусть $x_1<x_2$ в $[a,b]$. По теореме Лагранжа существует $c\in (x_1,x_2)$ такое, что
$$f^{\prime }(c)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}.$$ Так как $f^{\prime }(c)\ge 0$ и $x_2-x_1>0$, получается $f(x_2)-f(x_1)\ge 0$, т.е. $f(x_2)\ge f(x_1)$. □
3) Условие, гарантирующее строгое возрастание.
Сильная простая версия: если для всех $x\in (a,b)$ выполнено $f^{\prime }(x)>0$, то $f$ строго возрастает на $[a,b]$.
Доказательство. Аналогично: для любых $x_1<x_2$ найдётся $c\in (x_1,x_2)$ с
$$f^{\prime }(c)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}>0,$$ откуда $f(x_2)>f(x_1)$. □
Более общий достаточный критерий: если $f$ непрерывна на $[a,b]$, дифференцируема на $(a,b)$, $f^{\prime }(x)\ge 0$ на $(a,b)$ и для любого отрезка $[u,v]\subset (a,b)$ найдётся точка $x\in (u,v)$ с $f^{\prime }(x)>0$ (т.е. на никаком подотрезке производная не тождественно равна нулю), то $f$ строго возрастает на $[a,b]$.
Краткое доказательство: если бы существовали $x_1<x_2$ с $f(x_1)=f(x_2)$, то по теореме Ролля нашлась бы точка $c\in (x_1,x_2)$ с $f^{\prime }(c)=0$. Но по условию на отрезке $[x_1,x_2]$ есть точка с $f^{\prime }>0$, это не согласуется с тем, что производная на всём отрезке тождественно ноль, поэтому противоречие.
4) Замечания о слабых вариантах условий.
- Условие «$f^{\prime }(x)\ge 0$ почти всюду (a.e.)» само по себе не гарантирует строгое возрастание; достаточно одного или нескольких точек с $f^{\prime }(x)=0$, чтобы потенциально нарушить строгость (для жёсткой формулировки нужны дополнительные условия).
- Отдельные точки с $f^{\prime }(x)=0$ не мешают строгому возрастанию (пример $f(x)=x^3$ на $\mathbb{R}$: $f^{\prime }(0)=0$, но $f$ строго возрастает). Проблема возникает, когда производная равна нулю на целых подотрезках.
Итого: правильная базовая формулировка — «$f^{\prime }(x)\ge 0$ на $(a,b)$ и $f$ непрерывна на $[a,b]$ $\Rightarrow$ $f$ неубывает». Для утверждения о строгом возрастании нужно усилить условие (например, $f^{\prime }(x)>0$ на $(a,b)$ или отсутствие подотрезков, где $f^{\prime }\equiv 0$).