Кратко: все перечисленные подходы приводят к значению $\pi /2$. Различие — в методах обоснования предельных переходов. Ниже — сравнение и строгая схема (самый удобный — «абелево» затухающие множители).
1) Что требуется получить
Пусть $I={\int }_0^{\infty }\frac{\sin x}{x}dx$. Нужно показать существование предельного значения и вычислить его.
2) Методы (сравнение)
- Абелева (затухающий множитель): рассмотреть семейство
$I(\epsilon )={\int }_0^{\infty }{e}^{-\epsilon x}\frac{\sin x}{x}dx,\epsilon >0.$ Для каждого $\epsilon >0$ интеграл абсолютно сходится; вычисление и предельный переход дают значение. Этот метод даёт строгий, чистый расчёт и удобные теоремы для перестановки предела и интеграла.
- Ди́рихле/прямой предельный процесс: исследовать
$\underset{A\to \infty }{\lim }{\int }_0^A\frac{\sin x}{x}dx.$ Сходимость (условная) можно установить по тесту Дирихле (частная интегральная функция для $\sin x$ ограничена, $1/x$ монотонно и стремится к $0$), но сам тест не даёт численного значения — для значения нужна дополнительная обработка (например, абелево усреднение).
- Фурье/представление через индикатор: если $f(t)=1_{[-1,1]}(t)$, то её преобразование даёт
$f(\omega )={\int }_{-1}^1{e}^{-i\omega t}dt=2\frac{\sin \omega }{\omega }.$ Применяя обратное преобразование в точке $0$ (через приближения единицы или в смысле главного значения), получаем
${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\sin x}{x}dx=\pi ,$ откуда полуинтеграл равен $\pi /2$. Этот способ элегантен, но требует аккуратности (инверсия Фурье при неинтегрируемой трансформате требует приближений/распределений).
- Таблицы/табличные интегралы: дают ответ быстро, но без обоснования предельных переходов.
3) Тонкости перестановки предельного процесса и интеграла
- Нельзя напрямую положить $\epsilon =0$ под интегралом в $I(\epsilon )$ и применить доминированную сходимость на $(0,\infty )$, потому что функция $\frac{\sin x}{x}$ не абсолютно интегрируема на $(0,\infty )$ и для больших $x$ нет единого интегрирующего доминанта независимого от $\epsilon$.
- Для $\epsilon >0$ можно законно дифференцировать по параметру под знаком интеграла, потому что
$\frac{\partial }{\partial \epsilon }\left(e^{-\epsilon x}\frac{\sin x}{x}\right)=-e^{-\epsilon x}\sin x$ и $|e^{-\epsilon x}\sin x|\le e^{-\epsilon x}$ — интегрируемая по $x$ на $[0,\infty )$. То есть перестановка дифференцирования и интегрирования оправдана доминированной сходимостью.
- При использовании Фурье-инверсии требуется работать с приближающимися функциям (аппроксимации единицы, ядра Фейера) или в смысле главного значения/распределений, чтобы избежать нелегитимной интеграции неабсолютно интегрируемой функции.
4) Строгая схема получения значения (абелев метод, полный расписываемый шаг)
(a) Ввести $I(\epsilon )={\int }_0^{\infty }{e}^{-\epsilon x}\frac{\sin x}{x}dx,\epsilon >0.$ (b) Показать гладкость по параметру и вычислить производную:
$I^{\prime }(\epsilon )=-{\int }_0^{\infty }{e}^{-\epsilon x}\sin xdx.$ Перестановка справедлива, так как $|e^{-\epsilon x}\sin x|\le e^{-\epsilon x}\in L^1(0,\infty )$.
(c) Вычислить интеграл:
${\int }_0^{\infty }{e}^{-\epsilon x}\sin xdx=\frac{1}{1+{\epsilon }^2}.$ Следовательно $I^{\prime }(\epsilon )=-\frac{1}{1+{\epsilon }^2}.$ (d) Интегрировать по $\epsilon$:
$I(\epsilon )=C-\arctan \epsilon .$ (e) Определить константу $C$ из предела при $\epsilon \to \infty$. Поскольку $e^{-\epsilon x}\to 0$ для каждого $x$ и $I(\epsilon )\to 0$ при $\epsilon \to \infty$, а $\arctan \epsilon \to \pi /2$, получаем $C=\pi /2$. Значит
$I(\epsilon )=\frac{\pi }{2}-\arctan \epsilon =\arctan \frac{1}{\epsilon }.$ (f) Берём предел $\epsilon \to 0^{+}$:
$I=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }I(\epsilon )=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }\arctan \frac{1}{\epsilon }=\frac{\pi }{2}.$ Этот аргумент строг и избегает недопустимых перестановок.
5) Альтернативные строгие обоснования (коротко)
- Dirichlet: доказывает сходимость ${\lim }_{A\to \infty }{\int }_0^A\frac{\sin x}{x}dx$ (но не даёт значения); сочетание с абелевым усреднением даёт значение.
- Фурье/инверсия через приближение единицы: рассматривают $1_{[-1,1]}\ast {\varphi }_{\delta }$ (гладкую аппроксимацию) и применяют обратное преобразование, затем $\delta \to 0$. Это даёт ${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\sin x}{x}dx=\pi$.
6) Вывод
Строгое вычисление наиболее просто строить через абелево затухание: ${\int }_0^{\infty }\frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi }{2}.$ Другие способы (Дирихле, Фурье, свертки) работают, но требуют дополнительной формализации (тесты сходимости, приближения единицы или распределения) при перестановке пределов и интегралов.