Кратко — критерии и процедуры.
1) Вычислить собственное пространство: решить $(A-\lambda I)x=0$. Обозначим $g=\dim \ker (A-\lambda I)$ (геометрическая кратность). Тогда
- матрица диагонализируема тогда и только тогда, когда $g=3$. Поскольку алгебраическая кратность равна $3$, это эквивалентно условию $A=\lambda I$.
- вычислительно $g=3-\mathrm{rank}(A-\lambda I)$.
2) Можно дополнительно проверить обобщённые собственные пространства: положим $g_2=\dim \ker (A-\lambda I{)}^2$. Тогда для $3\times 3$-матрицы с единым собственным значением возможны ровно три случая:
- $g=3$ (тогда и $g_2=3$) — диагонализуема;
- $g=2$ (тогда $g_2=3$) — не диагонализуема, Жорданова форма содержит блоки размеров $2$ и $1$ (минимальный многочлен $(x-\lambda {)}^2$);
- $g=1$ (тогда $g_2=2$ обычно) — не диагонализуема, Жорданов блок размера $3$ (минимальный многочлен $(x-\lambda {)}^3$).
3) Альтернативный тест через минимальный многочлен: матрица диагонализируема ⇔ минимальный многочлен равен $(x-\lambda )$. Если минимальный многочлен равен $(x-\lambda {)}^2$ или $(x-\lambda {)}^3$, то не диагонализируема.
Роль геометрической кратности и Жордановой формы:
- Геометрическая кратность равна числу Жордановых блоков, соответствующих собственному значению $\lambda$.
- Диагонализуемость означает, что все Жордановы блоки размера $1$; для данного случая это эквивалентно $3$ блокам размера $1$ (т.е. $A$ подобна $\mathrm{diag}(\lambda ,\lambda ,\lambda )=\lambda I$).
Примеры (все имеют спектр $\{\lambda ,\lambda ,\lambda \}$):
- Диагонализуемая:
A=(λ000λ000λ)A=\begin{pmatrix}\lambda&0&0\\[2pt]0&\lambda&0\\[2pt]0&0&\lambda\end{pmatrix}A= λ00 0λ0 00λ . Здесь $A-\lambda I=0$, $g=3$.
- Не диагонализуемая (тип $2+1$, $g=2$):
A=(λ100λ000λ)A=\begin{pmatrix}\lambda&1&0\\[2pt]0&\lambda&0\\[2pt]0&0&\lambda\end{pmatrix}A= λ00 1λ0 00λ .
Тогда A−λI=(010000000)A-\lambda I=\begin{pmatrix}0&1&0\\[2pt]0&0&0\\[2pt]0&0&0\end{pmatrix}A−λI= 000 100 000 , $\mathrm{rank}=1$, $g=2$, минимальный многочлен $(x-\lambda {)}^2$, и $(A-\lambda I{)}^2=0$.
- Не диагонализуемая (тип $3$, $g=1$):
A=(λ100λ100λ)A=\begin{pmatrix}\lambda&1&0\\[2pt]0&\lambda&1\\[2pt]0&0&\lambda\end{pmatrix}A= λ00 1λ0 01λ .
Тогда $A-\lambda I$ имеет ранг $2$, $g=1$, минимальный многочлен $(x-\lambda {)}^3$, $(A-\lambda I{)}^2\ne 0$, но $(A-\lambda I{)}^3=0$.
Процедура на практике: найти $\ker (A-\lambda I)$ (и при необходимости $\ker (A-\lambda I{)}^2$), подсчитать размеры; по ним восстановить Жорданову структуру и решить вопрос о диагонализуемости.