Кратко и по пунктам.
1) Точечная сходимость:
- Для $x\in [0,1)$ $\underset{n\to \infty }{\lim }n{x}^n=0$ (так как $x^n$ экспоненциально малее $1/n$).
- Для $x=1$ $f_n(1)=n\to +\infty$.
Итого: $f_n\to 0$ почти везде (a.e.) на $[0,1]$, но не сходится в точке $x=1$.
2) Равномерная сходимость:
- На всём отрезке $[0,1]$ сходимости нет, т.к. $\Vert f_n{\Vert }_{\infty }={\sup }_{[0,1]}n{x}^n=n\to \infty$.
- На любом сжатом отрезке $[0,1-\epsilon ]$ имеем ${\sup }_{x\le 1-\epsilon }n{x}^n\le n(1-\epsilon {)}^n\to 0$, т.е. сходимость равномерна на каждом $[0,1-\epsilon ]$.
3) Сходимость в нормах $L^p([0,1])$, $p\ge 1$:
- $\Vert f_n{\Vert }_p^p={\int }_0^1{n}^p{x}^{np}dx=\frac{n^p}{np+1}.$ - Для $p=1$: $\Vert f_n{\Vert }_1=\frac{n}{n+1}\to 1$ (не стремится к 0).
- Для $p>1$: $\Vert f_n{\Vert }_p^p\sim \frac{n^{p-1}}{p}\to \infty$, следовательно $\Vert f_n{\Vert }_p\to \infty$.
Вывод: нет сходимости в $L^p$ к нулю для любого $p\ge 1$ (для $p=1$ предел нормы =1, для $p>1$ норма расходится).
4) Предел и интеграл:
- ${\int }_0^1{f}_n(x)dx={\int }_0^{1}n{x}^{n}dx=\frac{n}{n+1}\to 1.$ - Поскольку $f_n\to 0$ почти везде, ${\int }_0^1\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x)dx={\int }_0^{1}0dx=0.$
Значит $\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_0^1{f}_n\ne {\int }_0^1\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n$. Поменять предел и интеграл нельзя.
5) Какие теоремы применимы и почему:
- Лемма о доминированной сходимости (DCT): глобально неприменима, т.к. не существует интегрируемой функции $g$ с $f_n(x)\le g(x)$ почти везде (в точке $x=1$ значения растут до бесконечности). Однако DCT применима на любом отрезке $[0,1-\epsilon ]$ (там $f_n$ равномерно стремится к 0 и можно взять, например, постоянный интегрируемый доминант).
- Теорема о монотонной сходимости (MCT): неприменима, так как последовательность не имеет монотонного поведения по $n$ в каждой точке.
- Лемма Фату (Fatou): применима; даёт $\int \mathrm{liminf}{f}_n\le \mathrm{liminf}\int f_n$, здесь $0\le \mathrm{liminf}\int f_n=1$, согласуется.
- Сходимость почти везде и в мере: да — $f_n\to 0$ a.e. и в мере на $[0,1]$.
- Слабая* сходимость мер/дистрибуций: последовательность плотностей $f_n$ как меры $f_n(x)dx$ сходится по действиям на непрерывные функции к точечной мере в $1$: для непрерывной $\phi$ ${\int }_0^{1}n{x}^n\phi (x)dx\to \phi (1)$. Это объясняет, почему интегралы не уходят в 0 — масса концентрируется вблизи $x=1$.
Краткий итог: точечно $f_n\to 0$ на $[0,1)$ и расходится в $x=1$; нет равномерной сходимости на [0,1] и нет сходимости в $L^p$ (ни в $L^1$, ни в $L^p,p>1$); нельзя менять предел и интеграл (интегралы стремятся к 1, предел функций почти везде равен 0).