Короткий анализ и нетривиальные преобразования тождества.
Геометрически (единичная окружность)
- Точка на единичной окружности с углом $x$ имеет координаты $(\cos x,\sin x)$. По теореме Пифагора
$${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1.$$
Через комплексные показатели (Эйлер)
- $e^{ix}=\cos x+i\sin x$. Умножая на сопряжённое:
$$e^{ix}{e}^{-ix}=(\cos x+i\sin x)(\cos x-i\sin x)={\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1.$$ Это показывает также, что тождество верно для комплексных $x$ (как равенство целых функций).
Через ряд Тейлора
- Разложив $\sin x$ и $\cos x$ в степенные ряды и сложив соответствующие степени $x^{2k}$, все члены с ненулевой степенью взаимно уничтожаются, остаётся 1:
$${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x\equiv 1(\text{в виде рядов}).$$
Через систему ОДУ и инвариант нормы
- У пары функций $f=\cos x,g=\sin x$ выполняется система
$$f^{\prime }=-g,g^{\prime }=f.$$ Отсюда $\frac{d}{dx}(f^2+g^2)=2f{f}^{\prime }+2g{g}^{\prime }=0$, значит $f^2+g^2$ — константа; подставив $x=0$ получаем 1.
Через матричный подход (группа вращений)
- Матрица вращения
$$R(x)=\left(\begin{array}{cc}\cos x& -\sin x\\ \sin x& \cos x\end{array}\right)$$ ортогональна: $R(x{)}^{T}R(x)=I$. Столбец $(\cos x,\sin x{)}^T$ имеет норму 1, т.е.
$${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1.$$
Другие полезные преобразования
- Полусуммы/двойной угол:
$${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2},{\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2},$$ сумма даёт 1.
- В терминах модуля комплексного числа:
$${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=|\cos x+i\sin x{|}^2=1.$$
Контрпримеры и ловушки при обобщениях
- Гиперболические функции: здесь знак меняется:
$${\cosh }^{2}x-{\sinh }^{2}x=1,$$ поэтому простое подменение $\sin \mapsto \sinh ,\cos \mapsto \cosh$ вводит в заблуждение.
- Деление на ноль при выводе для тангенса/секанса: из исходного деления на ${\cos }^{2}x$ получают
$$1+{\tan }^{2}x={\sec }^{2}x,$$ но это тождество имеет смысл только там, где $\cos x\ne 0$.
- Квадрирование при решении уравнений даёт посторонние решения. Пример:
из $\sin x=\cos x$ после квадрирования получаем ${\tan }^{2}x=1$, т.е. $\tan x=\pm 1$, что добавляет решения с $\tan x=-1$, тогда как оригинал требует именно $\tan x=1$.
- Общая система ОДУ даёт константу, но не обязательно единицу: если $f^{\prime }=-g,g^{\prime }=f$, то $f^2+g^2$ — константа $C$. При других начальных условиях получим $C\ne 1$. Пример:
$$f(x)=2\cos x,g(x)=2\sin x$$ удовлетворяют той же системе, но $f^2+g^2=4$.
- Тождество $f^2+g^2=1$ не определяет единственной пары функций: если для каждой точки существует угол $\theta (x)$, то любые
$$f(x)=\cos \theta (x),g(x)=\sin \theta (x)$$ удовлетворяют тождеству — фаза может быть произвольной функцией.
Краткое смысловое резюме
- ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$ — выражение сохранения евклидовой нормы для вектоpа $(\cos x,\sin x)$, эквивалентное модулю $e^{ix}$ равному 1 и свойству матриц вращения. При обобщениях важно следить за знакомами (гиперболические функции), областями определения (деление на $\cos x$) и потерей информации при операциях вроде квадрирования.