Интеграл
$$I(a)={\int }_1^{\infty }\frac{x^a}{1+x^3}dx$$ импровый только в бесконечности (на отрезке $[1,2]$ функция непрерывна), поэтому изучаем поведение при $x\to \infty$.
Основная асимптотика: для больших $x$ $$\frac{x^a}{1+x^3}\sim x^{a-3}.$$ Применим предельный (limit) сравнительный тест:
$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\frac{x^a}{1+x^3}}{x^{a-3}}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^3}{1+x^3}=1,$$ так что сходимость $I(a)$ эквивалентна сходимости интеграла ${\int }_1^{\infty }{x}^{a-3}dx$.
По $p$-тесту ${\int }_1^{\infty }{x}^{\beta }dx$ сходится тогда и только тогда, когда $\beta <-1$. Здесь $\beta =a-3$, откуда условие сходимости
$$a-3<-1⟺a<2.$$
Можно дать элементарные неравенства для строгого доказательства:
для $x\ge 1$ имеем $x^3\le 1+x^3\le 2x^3$, поэтому
$$\frac{x^a}{2x^3}\le \frac{x^a}{1+x^3}\le \frac{x^a}{x^3},$$ и сравнение с $\frac{1}{2}{x}^{a-3}$ и $x^{a-3}$ даёт сходимость при $a<2$ и расходимость при $a\ge 2$. В частности при $a=2$ интеграл ведёт себя как ${\int }_1^{\infty }\frac{dx}{x}$ и расходится (логарифмически).
Итог: $I(a)$ сходится для всех $a<2$ и расходится для $a\ge 2$. Тонкость — только поведение на бесконечности; применимы limit comparison (или обычное сравнение) с функцией $x^{a-3}$ и $p$-тест.