Решение (коротко):
Используем тождество $\sin (2x)=2\sin x\cos x$. Тогда
$$2\sin x\cos x=2\sin x⟹2\sin x(\cos x-1)=0.$$ Отсюда либо $\sin x=0$, либо $\cos x=1$. Решения:
$$\sin x=0\Rightarrow x=k\pi ,k\in \mathbb{Z};\cos x=1\Rightarrow x=2\pi n,n\in \mathbb{Z}.$$ Так как $x=2\pi n$ — частный случай $x=k\pi$ (при чётных $k$), окончательно
$$x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$$
Подводные камни и как их избежать:
- Домена ограничений нет: обе функции заданы на $\mathbb{R}$.
- Нельзя делить уравнение на $\sin x$, не проверив случай $\sin x=0$ — при делении теряются решения $\sin x=0$.
- Периодичность: $\sin (2x)$ имеет период $\pi$, $\sin x$ — $2\pi$; уравнение как равенство двух периодических функций имеет период $\mathrm{lcm}(\pi ,2\pi )=2\pi$, но множество решений может иметь меньший период (здесь период решений $\pi$). Чтобы избежать избыточности, давайте одно-параметрическое описание: $x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ (или эквивалентно $x\equiv 0,\pi (\mathrm{mod}2\pi )$).