Кратко и по делу — критерии выбора базиса и численные нюансы.
Что делать (ввод): пусть даны векторы $v_1,\dots ,v_k\in {\mathbb{R}}^4$. Составьте матрицу $A\in {\mathbb{R}}^{4\times k}$ с этими векторами как столбцами.
Критерии и методы выбора базиса:
- Линейная независимость (минимальный критерий): выбрать подмножество столбцов, которое линейно независимо и порождает тот же столбец-пространство. Практически получают через приведение к ступенчатому виду (Гаусс) или QR с опережением столбцов (column‑pivoted QR).
- Орто-нормальность (для численной устойчивости): получить ортонормированное множество, порождающее то же подпространство, используя модифицированный Gram–Schmidt или лучше QR/ SVD. Ортонормированный базис удобен для проекций и оценки погрешности.
- Числовая устойчивость и интерпретируемость: если важна простота (например, исходные столбцы как базис), применяют QR с перестановкой столбцов (CPQR); если важна наилучшая аппроксимация и кондиционирование — SVD.
Конкретные алгоритмы (коротко):
- Гаусс (с выбором ведущих столбцов): приведение $A$ к ступенчатому виду → выбрать столбцы, содержащие ведущие переменные.
- QR с перестановкой: вычислить $AP=QR$. Пусть диагонали $|r_{11}|\ge \cdots$. Оценить ранг $r$ и взять как базис те исходные столбцы $v_{p_1},\dots ,v_{p_r}$, где $p_i$ — индексы из $P$.
- SVD (стабильно): $A=U\Sigma V^{\top }$. Пусть сингулярные числа ${\sigma }_1\ge \cdots \ge {\sigma }_{\min (4,k)}$. Выбрать $r$ таких, что ${\sigma }_i>\text{тол}$. Орто-нарный базис подпространства — первые $r$ столбца $U$ (или столбцы $A{V}_{:,1:r}/{\Sigma }_{1:r,1:r}$).
Как выбирать порог (толеранс) для определения «нулевой» сингулярности:
- Рекомендуемый порог
$$\text{tol}=\max (4,k){\sigma }_{\max }(A)\epsilon ,$$ где $\epsilon$ — машинный эпсилон (для двойной точности $\epsilon \approx 2.22\cdot 10^{-16}$).
- Альтернатива: абсолютный порог, если векторы имеют физический масштаб: $\text{tol}=\text{scale}\cdot \epsilon$.
Численные нюансы при очень близких/почти зависимых векторах:
- Малые сингулярные числа ${\sigma }_i$ означают почти-линейную зависимость. Тогда:
- Определение ранга становится чувствительным к порогу; выбор tol критичен.
- Базис, полученный натуральной выборкой столбцов без перестановки, может быть крайне неустойчив (великую роль играет порядок).
- Классический Gram–Schmidt может потерять ортогональность; используйте модифицированный Gram–Schmidt с повторами (reorthogonalization) или QR с перестановкой.
- SVD даёт наилучшее (по наименьшему отклонению) разложение и численно стабильный выбор подпространства, но дороже вычислительно.
- Оценка чувствительности: условное число $\kappa (A)={\sigma }_{\max }/{\sigma }_{\min }$ (или для подпространства — отношение больших и малых сингулярных чис) показывает, насколько результат будет чувствителен к шуму.
- Практические советы:
- Для R^4 вычисления недорогие — предпочитайте SVD, если есть сомнения в зависимости.
- Если нужны исходные векторы как базис — использовать CPQR, выбирая первые $r$ опорных столбцов.
- При сомнении о точности — повышайте точность (многоточность) или очищайте базис: отбросьте компоненты с ${\sigma }_i\le \text{tol}$.
- Сообщайте пользователю/потребителю данных выбранный порог и оставшуюся величину ${\sigma }_{r+1}$ как меру аппроксимации.
Как принять решение в практике:
- Если хотите минимальное по количеству столбцов и устойчивое численно решение → SVD, взять $r=\#\{{\sigma }_i>\text{tol}\}$ и базис = $U_{:,1:r}$.
- Если хотите сохранить интерпретацию исходных векторов → CPQR и выбрать первые $r$ пивот‑столбцов по тому же критерию.
Этого достаточно для корректного и численно осмысленного выбора базиса в ${\mathbb{R}}^4$.