Найти предел удобно с помощью ряда Тейлора (или эквивалентно разложения в степенные ряды / формы Пеано). Для синуса имеем разложение при $x\to 0$:
$$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3).$$ Отсюда
$$\frac{\sin x-x}{x^3}=\frac{-\frac{x^3}{6}+o(x^3)}{x^3}=-\frac{1}{6}+o(1),$$ поэтому
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x-x}{x^3}=-\frac{1}{6}.$$
Альтернативы и условия допустимости:
- Можно применить правило Лопиталя три раза: после трёх дифференцирований получим $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-\cos x}{6}=-\frac{1}{6}$.
- Разложение Тейлора законно, если функция достаточно дифференцируема в окрестности точки (для формы Пеано достаточно трёхкратной дифференцируемости в 0; для точного остатка в форме Лагранжа — непрерывности соответствующей производной). Для $\sin x$ эти условия выполнены (функция аналитическая), поэтому подход корректен.