Пусть $X_1,\dots ,X_n$ — индикаторные случайные величины испытаний, то есть $X_i\in \{0,1\}$ и $\mathrm{Pr}(X_i=1)=p_i$. Общее число успехов $S={\sum }_{i=1}^n{X}_i$.
Формула для дисперсии:
$$\mathrm{Var}(S)=\sum _{i=1}^n\mathrm{Var}(X_i)=\sum _{i=1}^n{p}_i(1-p_i).$$ Вывод: в общем случае
$$\mathrm{Var}(S)=\sum _{i=1}^n{p}_i-\sum _{i=1}^n{p}_i^2.$$ (В общем для суммы случайных величин $\mathrm{Var}(S)={\sum }_i\mathrm{Var}(X_i)+2{\sum }_{i<j}\mathrm{Cov}(X_i,X_j)$; при независимости все ковариации равны нулю.)
Условия независимости: случайные величины $X_1,\dots ,X_n$ независимы в совокупности (взаимно), если для любого подмножества индексов $I$ и любых значений $x_i\in \{0,1\}$ $$\mathrm{Pr}(\bigcap _{i\in I}\{X_i=x_i\})=\prod _{i\in I}\mathrm{Pr}(X_i=x_i).$$ Интуитивно это означает, что результат любого набора испытаний не влияет на вероятности результатов остальных; в частности независимо по парам (или полностью) даёт $\mathrm{Cov}(X_i,X_j)=0$ при $i\ne j$, что и обеспечивает аддитивность дисперсии выше.
Частный случай $p_i=\frac{1}{2}$ для всех $i$:
$$\mathrm{Var}(S)=\sum _{i=1}^n\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2})=\sum _{i=1}^n\frac{1}{4}=\frac{n}{4}.$$
Замечание: распределение суммы при различных $p_i$ называется пуассоновским биномиальным распределением (poisson binomial).