Возможные причины отрицательного результата при смене порядка интегрирования:
- Неправильно записаны новые пределы (верхний и нижний границы перепутаны или выражения с зависимыми пределами неверны).
- Область неразрезна для выбранного порядка: её нужно разбить на несколько подобластей, каждая с простыми пределами.
- При переходе через неявные границы неправильно решили их для новой переменной (решили неверное уравнение или взяли неверную ветвь).
- При замене переменных забыли взять модуль Якобиана: при подстановке $(x,y)=\Phi (u,v)$ площадь даётся как ${\iint }_T|J(u,v)|dudv$, а не как ${\iint }_{T}J(u,v)dudv$.
- Ошибка при вычислении определённого интеграла (поменяли местами пределы при подстановке первообразной и не учли знак).
- Использование ориентированных формул (например, интеграл по контуру с ориентированием) вместо обычной площади.
Алгоритм проверки и правильной смены порядка интегрирования (для площади или произвольного ${\iint }_{R}f(x,y)dA$):
1. Явно выпишите исходную область:
$$R=\{(x,y)\mid a\le x\le b,g_1(x)\le y\le g_2(x)\}$$ или аналогично в обратном виде.
2. Нарисуйте или схематично опишите границы: кривые $y=g_1(x),y=g_2(x)$ и вертикальные/горизонтальные линии. Найдите точки пересечения (решите $g_1(x)=g_2(x)$ или соответствующие уравнения).
3. Определите глобальный диапазон для новой внешней переменной. Например, при переходе к интегралу по $y$ сначала найдите
$$y_{\min }=\underset{(x,y)\in R}{\min }y,y_{\max }=\underset{(x,y)\in R}{\max }y.$$
4. Для каждого фиксированного значения внешней переменной выразите внутренние пределы: найдите функции $x_{\ell }(y)$ и $x_r(y)$ такие, что
$$R=\{(x,y)\mid c\le y\le d,x_{\ell }(y)\le x\le x_r(y)\}.$$ При необходимости разбейте область на несколько подобластей, где эти функции однозначны.
5. Проверьте монотонность/относящиеся ветви: для всех $y$ в каждом подинтервале должно быть $x_{\ell }(y)\le x_r(y)$. Если для части диапазона это не выполняется — нужно разбить.
6. Запишите новый интеграл:
$${\iint }_{R}f(x,y)dA={\int }_{y=c}^d\left({\int }_{x=x_{\ell }(y)}^{x_r(y)}f(x,y)dx\right)dy.$$
7. Контроль корректности:
- Вычислите площадь как ${\iint }_{R}1dA$. Результат должен быть $\ge 0$. Если получилось отрицательное значение — где-то поменяны пределы или потерян модуль Якобиана.
- Сравните численно оба порядка интегрирования (если возможно). Должны совпадать.
- Проверьте знаки при вычислении первообразной: если при подстановке первообразной пределы поменяются местами, появляется минус.
- Если использовали замену переменных $(u,v)\mapsto (x,y)$, обязательно вставьте $|J(u,v)|$:
$${\iint }_{R}dA={\iint }_T|J(u,v)|dudv.$$ - В сложных случаях постройте пару контрольных точек (пары $(x,y)$) и убедитесь, что они попадают в область по новым пределам.
Короткая проверка «на ошибки», если получили отрицательное значение:
- Проверить, что при каждом фиксированном внешнем значении внутренняя граница слева ≤ справа.
- Убедиться, что при изменении переменных использовали $|J|$.
- Сравнить с интегралом ${\iint }_{R}1dA$ или с численным приближением/графиком области.
Следуя этим шагам, можно однозначно определить и исправить ошибку при смене порядка интегрирования.