Короткая стратегия и проверяемые критерии.
1) Вспомогательные наблюдения.
- Обозначим сопряжённый (обратный) многочлен $P^{\ast }(x)=x^{4}P(1/x)=1+cx+b{x}^2+a{x}^3+x^4$. Для действительных коэффициентов корни на единичной окружности дают общие корни $P$ и $P^{\ast }$: если $|z|=1$ и $P(z)=0$, то $\overline{z}$ тоже корень $P$ и тогда $P^{\ast }(z)=z^{4}P(1/z)=z^{4}P(\overline{z})=0$.
- Следовательно: никакой корень не лежит на единичной окружности тогда и только тогда, когда $\gcd (P,P^{\ast })=1$ (степень НОД = 0).
2) Алгебраический критерий (жёсткий, проверяемый).
- Постройте результатант ${\mathrm{Res}}_x(P,P^{\ast })$ (например через матрицу Сильвестра). Если
${\mathrm{Res}}_x(P,P^{\ast })\ne 0$,
то $P$ и $P^{\ast }$ не имеют общих корней, значит у $P$ нет корней на $|x|=1$.
- Обратная импликация: если результатант = $0$, то есть по крайней мере один корень на окружности.
3) Численные/практические способы.
- Проверка min-значения: вычислить $m={\min }_{\theta \in [0,2\pi )}|P(e^{i\theta })|$ (с хорошей дискретизацией и уточнением) — если $m>0$ с учётом вычислительной погрешности, то корней на окружности нет.
- Алгоритмически точнее: использовать евклидов алгоритм над $\mathbb{R}[x]$ для $\gcd (P,P^{\ast })$ или вычислить результатант численно с контролем погрешности.
4) Специальный упрощённый случай (полный критерий).
- Если $a=c$ (симметричный/палиндромный случай), положим $y=x+1/x$. После деления на $x^2$ получаем квадратичное уравнение
$y^2+ay+(b-2)=0.$ Корень $x$ с $|x|=1$ существует тогда и только тогда, когда одно из решений $y$ лежит в отрезке $[-2,2]$.
Значит, чтобы гарантировать отсутствие корней на окружности, достаточно проверить, что оба корня
$y_{1,2}=\frac{-a\pm \sqrt{a^2-4(b-2)}}{2}$ лежат вне $[-2,2]$ (учитывая комплексные корни — если дискриминант <0, то $y$ комплексные и условие выполнено).
5) Другие методы.
- Применение критерия Шура / теста Джури даёт условия на коэффициенты, которые позволяют утверждать отсутствие корней на |x|=1 (напр., строгие неравенства в каждом шаге алгоритма Шура гарантируют, что корни не лежат на окружности). Это удобно, если нужно проверить, все ли корни внутри (или вне) единичного круга; для только «нет на окружности» достаточно, чтобы в шагах не возникали нулевые детерминанты.
Резюме: наиболее общая и жёсткая проверка — вычислить ${\mathrm{Res}}_x(P,P^{\ast })$ или $\gcd (P,P^{\ast })$; в симметричном случае $a=c$ можно свести задачу к проверке корней квадратичного уравнения на принадлежность $[-2,2]$. Для практических вычислений пригодны численная минимизация $|P(e^{i\theta })|$ и алгоритм Шура/Джури.