Формулировка верна при стандартных условиях, но эти условия важно оговорить.
Точное утверждение (достаточно и обычно используемое). Если $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ и дифференцируема на $(a,b)$, причём $f^{\prime }(x)=0$ для всех $x\in (a,b)$, то $f$ постоянна на $[a,b]$. Для произвольного интервала $I$ достаточно требовать непрерывности на $I$ и дифференцируемости на внутренности $I$.
Краткое доказательство (по теореме Лагранжа). Для любых $a<b$ из $I$ по ТЛС существует $c\in (a,b)$ такое, что
$$f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$ Если $f^{\prime }(x)=0$ для всех $x$, то правая часть равна $0$, откуда $f(b)=f(a)$. Значит $f$ постоянна на $I$.
Какие условия обязательны / что бывает при нарушении
- Требуется, чтобы производная существовала и была равна нулю во всех точках интервала (или хотя бы на всей внутренности при условии непрерывности на концах отрезка). Если производная отсутствует в какой‑то точке, утверждение может не выполняться.
Контрпример: возьмём
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x\le 0,\\ 1,& x>0\end{array}\text{на}(-1,1).$$ Тогда $f^{\prime }(x)=0$ для всех $x\ne 0$, но производная в $0$ не существует, и $f$ не постоянна на $(-1,1)$.
- Если условие «для всех $x$» ослабить до «почти для всех $x$» (то есть $f^{\prime }(x)=0$ почти везде), то утверждение неверно без дополнительных требований. Классический контрпример — функция Кантора (степень «дьявольской лестницы»): непрерывная, ненулевая (увеличивается от $0$ до $1$), но её производная равна $0$ почти всюду на $[0,1]$.
- Если область определения не является интервалом (т.е. не связна), то на каждой связной компоненте функция может быть своя константа. Пример: задать разные константы на двух непересекающихся отрезках — на каждом производная ноль, но глобально функция не постоянна.
Дополнительное замечание. Если $f^{\prime }(x)=0$ почти везде и дополнительно $f$ абсолютно непрерывна (например, принадлежит $W^{1,1}$ или является интегралом производной), то из $f(x)=f(a)+{\int }_a^x{f}^{\prime }(t)dt$ следует $f$ постоянна.