Кратко: ряд расходится (частичные суммы → +∞). Абсолютной сходимости нет; условной тоже — ряд не сходится.
Обоснование:
- Разложим $a_n=\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}+\frac{1}{n}=b_n+c_n$, где $b_n=\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}$, $c_n=\frac{1}{n}$.
- По признаку Лейбница ряд $\sum b_n$ сходится, потому что $1/\sqrt{n}\downarrow 0$. Обозначим его частичную сумму $B_N\to B\in \mathbb{R}$.
- Ряд $\sum c_n=\sum 1/n$ — гармонический, расходится ($C_N={\sum }_{n=1}^{N}1/n\to +\infty$).
- Тогда частичные суммы исходного ряда равны $S_N=B_N+C_N\to B+(+\infty )=+\infty$, значит ряд расходится.
Абсолютная сходимость невозможна:
- Для чётных индексов $n=2k$ имеем $a_{2k}=\frac{1}{\sqrt{2k}}+\frac{1}{2k}\ge \frac{1}{\sqrt{2k}}$, следовательно
$$\sum _{n=1}^{\infty }|a_n|\ge \sum _{k=1}^{\infty }|a_{2k}|\ge \sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{\sqrt{2k}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{k}^{-1/2}=+\infty .$$
Вывод: ряд расходится (не сходится ни абсолютно, ни условно).