Обозначим катеты $AC=b$, $BC=a$, гипотенузу $AB=c$. Пусть высота из $C$ падает в точку $D$ и даёт отношение $AD:DB=1:3$. Пусть $AD=k,DB=3k$, тогда $c=4k$.
Из свойств прямоугольного треугольника:
$b^2=AD\cdot AB=k\cdot 4k=4k^2\Rightarrow b=2k,$ $a^2=DB\cdot AB=3k\cdot 4k=12k^2\Rightarrow a=2\sqrt{3}k.$
Следовательно соотношение катетов
$$AC:BC=b:a=2k:2\sqrt{3}k=1:\sqrt{3},$$ или при перестановке меток вершин (если вместо $AD:DB=1:3$ считать $AD:DB=3:1$) — обратное:
$$AC:BC=\sqrt{3}:1.$$
Дополнительно: это треугольник с углами $30^{\circ },60^{\circ },90^{\circ }$ (например $\tan \angle A=\sqrt{3}$ при $AC:BC=1:\sqrt{3}$).
Простейшая конструкция (вдоль масштаба):
- взять $AC=1,BC=\sqrt{3}$ (тогда $AB=2$); провести перпендикуляр в точке $C$ и соединить концы — получится нужный треугольник.
Или: взять отрезок $AB$ длины $4k$, отметить точку $D$ так, что $AD:DB=1:3$; из $A$ и $B$ построить перпендикуляры к $AB$ длиной $2k$ и $2\sqrt{3}k$ соответственно, соединить — получится треугольник (аналогично, проще задать катеты по формулам выше).
Какие допущения влияют на единственность:
- Масштаб: задаётся лишь класс подобия, поэтому без фиксирования длины (например $k$) решение не唯一 — все треугольники подобны.
- Нумерация концов гипотенузы: если метки $A,B$ фиксированы, то есть два варианта (малый кусок возле $A$ или возле $B$), дающие соотношения $1:\sqrt{3}$ или $\sqrt{3}:1$. Если метки не важны, то по сути один класс подобных треугольников (30–60–90).