Найдём все целые решения уравнения $6x+15y=3$.
1. Проверка возможности решения. Пусть $d=\gcd (6,15)=3$. Так как $d\mid 3$, решения существуют.
2. Упростим, разделив на $d$: $2x+5y=1$.
3. Найдём частное решение. Решим по модулю: $2x\equiv 1(\mathrm{mod}5)$. Обратный элемент $2^{-1}(\mathrm{mod}5)$ равен $3$, поэтому $x\equiv 3(\mathrm{mod}5)$. Возьмём $x_0=3$. Тогда $2\cdot 3+5y=1$ даёт $y_0=-1$. Значит одно частное решение $(x_0,y_0)=(3,-1)$.
4. Общее решение. Для уравнения $ax+by=c$ с $d=\gcd (a,b)$ общее целое решение задаётся
$$x=x_0+\frac{b}{d}t,y=y_0-\frac{a}{d}t,t\in \mathbb{Z}.$$ Здесь $a=6,b=15,d=3$, поэтому $\frac{b}{d}=5,\frac{a}{d}=2$. Получаем
$$x=3+5t,y=-1-2t,t\in \mathbb{Z}.$$
5. Когда метод применим. Метод применим для любого линейного диофантова уравнения $ax+by=c$. Необходимо и достаточно, чтобы $d=\gcd (a,b)$ делил $c$. Если $d\nmid c$ — целых решений нет. При изменении коэффициентов $a$ или $b$ нужно заново вычислить $\gcd (a,b)$; если новая НОД делит $c$, то процедура (деление на НОД, нахождение частного решения через расширенный алгоритм Евклида и параметризация) остаётся применимой. Если одновременно умножить все три коэффициента $a,b,c$ на одно и то же целое число, множество решений не меняется (по соответствующей нормировке).