Для $x\ne 1$:
Факторизуем числитель: $$x^2-1=(x-1)(x+1).$$ Тогда для $x\ne 1$ можно сократить ненулевой множитель $x-1$: $$\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1(x\ne 1).$$ Сокращение корректно, потому что деление на ноль запрещено, значит допускается только при $x-1\ne 0$.
Для $x=1$:
Исходное выражение $\frac{x^2-1}{x-1}$ при $x=1$ не определено (деление на ноль). Нельзя просто подставлять и «сократить» при $x=1$. Если нужно значение при $x=1$ в смысле предела, то $$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }(x+1)=2,$$ то есть существует устранимая разрывность и можно определить продолжение функции значением $2$ в точке $x=1$, но это будет уже другая (продолженная) функция.
Краткое правило: сокращать общий множитель можно только при условии, что он не равен нулю; равенство выражений до и после сокращения действительно только на общей области определения.