Дан треугольник со сторонами $7,24,25$.
Метод 1 — проверка по теореме Пифагора (прямой, самый простой для чисел):
- Проверяем равенство квадратов: $7^2+24^2=49+576=625=25^2$.
- Следовательно, по обратной теореме Пифагора треугольник прямоугольный (катеты $7$ и $24$, гипотенуза $25$).
Метод 2 — теорема косинусов (подходит для любых действительных длин, даёт угол и устойчивость к численным проверкам):
- По теореме косинусов угол $\gamma$, напротив стороны $25$: $\cos \gamma =\frac{7^2+24^2-25^2}{2\cdot 7\cdot 24}=\frac{49+576-625}{336}=0$.
- Значит $\gamma =90^{\circ }$, треугольник прямой.
Альтернативно (метод 3) — векторный/координатный:
- Можно поместить вершины так: $A(0,0),B(24,0),C(0,7)$. Тогда $AB=24,AC=7,BC=\sqrt{24^2+7^2}=25$ и скалярное произведение векторов $AB$ и $AC$ равно $0$ (перпендикулярность).
Сравнение применимости и устойчивости к погрешностям:
- Теорема Пифагора: самая простая при точных (особенно целых) значениях; проверка сводится к равенству квадратов. Но при измерениях мелкая погрешность длины усиливается при возведении в квадрат — проверка «ровно равны» чувствительна к шуму.
- Теорема косинусов: универсальна для любых чисел и даёт численное значение $\cos \gamma$. При измерках даёт оценку отклонения от $90^{\circ }$ (если $\cos \gamma$ близко к $0$). Погрешности в длинах передаются в $\cos \gamma =\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$; примерная линейная оценка изменения
$\delta (\cos \gamma )\approx \frac{a\delta a+b\delta b-c\delta c}{ab}$,
поэтому относительные погрешности не обязательно увеличиваются квадратично, и можно оценить доверительный интервал для угла.
- Векторный/координатный метод схож по устойчивости с косинусным (зависит от точности координат); проверка скалярного произведения даёт прямую тестовую величину, которую тоже можно анализировать на погрешности.
Вывод: для точных целых данных достаточно метода Пифагора; при реальных измерениях предпочтительнее теорема косинусов (или векторный подход) с оценкой погрешности и проверкой того, что $\cos \gamma$ статистически совместим с $0$.