Ряд Тейлора в окрестности нуля:
$$\arctan x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1},|x|\le 1(\text{при}x=\pm 1\text{сходится условно}).$$
Остаточный член при конечном числе членов (приблизим суммой до $N$-го члена, т.е. степени $2N+1$):
обозначим
$$S_N(x)=\sum _{n=0}^N(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1},R_N(x)=\arctan x-S_N(x).$$
Способы оценки остатка и результаты:
1) Оценка через знакочередующийся ряд (Лейбниц). Для $|x|\le 1$ члены по абсолютной величине убывают, поэтому
$$|R_N(x)|\le \frac{|x{|}^{2N+3}}{2N+3},$$ и при этом $R_N(x)$ имеет знак $(-1{)}^{N+1}$ (т.е. следующий по порядку член задаёт направление ошибки). Этот метод прост и даёт точную по порядку (и часто почти точную по коэффициенту) оценку при $|x|\le 1$.
2) Интегральное представление остатка. Так как $\arctan x={\int }_0^x\frac{dt}{1+t^2}$ и для $|t|<1$ $\frac{1}{1+t^2}={\sum }_{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{t}^{2n}$, получается точная формула
$$R_N(x)={\int }_0^x\frac{(-1{)}^{N+1}{t}^{2N+2}}{1+t^2}dt.$$ Отсюда немедленно следует оценка
$$|R_N(x)|\le {\int }_0^{|x|}\frac{t^{2N+2}}{1+t^2}dt\le \frac{|x{|}^{2N+3}}{2N+3},$$ и при аккуратном учёте знаменателя можно иногда получить чуть лучшую (но по порядку тот же) оценку для конкретного $x$.
3) Форма Лагранжа (обобщённая оценка). Для многочлена степени $m$ $$R_m(x)=\frac{f^{(m+1)}(\xi )}{(m+1)!}{x}^{m+1}\text{для некоторого}\xi \in (0,x).$$ Это даёт оценку, если можно явно ограничить $|f^{(m+1)}(t)|$ на отрезке между $0$ и $x$. Для $\arctan$ производные имеют вид рациональных функций с знаменателем $(1+t^2{)}^k$, поэтому одна получает оценку вида
$$|R_m(x)|\le \frac{{\max }_{|t|\le |x|}|f^{(m+1)}(t)|}{(m+1)!}|x{|}^{m+1}.$$ Преимущество: применяется для любых $x$. Недостаток: при прямом грубом оценивании $\max |f^{(m+1)}|$ получается большая (иногда чрезмерно грубая) оценка по сравнению с методом Лейбинца на $|x|\le 1$.
4) Случай больших аргументов ($|x|>1$). Лучше сначала использовать тождество
$$\arctan x=\frac{\pi }{2}\mathrm{sgn}(x)-\arctan \frac{1}{x},$$ и разложить $\arctan (1/x)$ как ряд по малой переменной $1/x$. Тогда оценка остатка даётся тем же правилом Лейбинца:
$$|R_N(x)|\le \frac{|1/x{|}^{2N+3}}{2N+3},$$ что даёт очень маленькую ошибку при больших $|x|$.
5) Аппроксимации типа Паде, Чебышёва и минимакс. Для одновременной хорошей равномерной оценки на отрезке (особенно если нужен малый максимум ошибки на всём интервале) рациональные приближения (Паде) или полиномы с равномерной минимакс-ошибкой (Чебышёв) дают существенно лучшие результаты по сравнению с голым усечённым степенным рядом; для фиксированной степени они обычно дают намного меньшую максимальную ошибку. Эти методы сложнее в применении, но предпочтительны для практических вычислений с ограниченным числом членов на заданном отрезке.
Краткие рекомендации:
- Для точечной оценки при $|x|\le 1$ и простоты: используйте оценку Лейбинца (или интегральную форму) — она простая и почти оптимальная.
- Для $|x|>1$: сначала замените $x\mapsto 1/x$ через тождество, затем примените ту же оценку.
- Для равномерной аппроксимации на отрезке: используйте Чебышёв- или Паде-аппроксимации — они дают более точные верхние оценки при том же числе параметров.