Контрпример. Рассмотрим функции на отрезке $[0,1]$ $$f_n(x)=x^n.$$ Каждая $f_n$ непрерывна на $[0,1]$, но поточечный предел
$$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x)=\{\begin{array}{ll}0,& 0\le x<1,\\ 1,& x=1,\end{array}$$ — разрывная в точке $x=1$. Значит поточечная сходимость непрерывных функций не гарантирует непрерывности предела.
Какие усиления сходимости делают утверждение верным (и почему).
1) Равномерная сходимость.
Если $f_n$ непрерывны на $[a,b]$ и $f_n\to f$ равномерно, то $f$ непрерывна. Доказательство (кратко): для заданного $\epsilon >0$ выберем $N$ с ${\sup }_x|f_n(x)-f(x)|<\epsilon /3$ при $n\ge N$. Так как $f_N$ непрерывна, найдётся $\delta$ с $|x-y|<\delta \Rightarrow |f_N(x)-f_N(y)|<\epsilon /3$. Тогда при $|x-y|<\delta$ $$|f(x)-f(y)|\le |f(x)-f_N(x)|+|f_N(x)-f_N(y)|+|f_N(y)-f(y)|<\epsilon .$$
2) Равномерная сходимость на окрестностях (локально равномерная).
Если $f_n$ непрерывны и сходятся к $f$ локально равномерно (равномерно на каждом компактном подотрезке), то $f$ непрерывна (тот же аргумент применим локально).
3) Эквиконтинуальность плюс поточечная сходимость на компакте.
Пусть $K$ — компакт, функции $f_n$ непрерывны и семейство $\{f_n\}$ эквиконтинуально на $K$, и $f_n\to f$ поточечно на $K$. Тогда сходимость равномерна на $K$ и потому $f$ непрерывна. Ключевая идея: при отсутствии равномерности можно найти точки $x_n$ с $|f_n(x_n)-f(x_n)|\ge \epsilon$; из компактности выделяем подпоследовательность $x_{n_k}\to x$, эквиконтинуальность и поточечная сходимость дают противоречие.
4) Сходимость в супремумной норме / быть фундаментальной по супремумной норме.
Если $\Vert f_n-f{\Vert }_{\infty }={\sup }_x|f_n(x)-f(x)|\to 0$ (или последовательность $f_n$ является Cauchy в этой норме), то предел непрерывен по тому же аргументу, что и для равномерной сходимости.
Замечания о других типах сходимости: сходимость в $L^p$ или поточечная почти везде не гарантируют непрерывности предела. Теоремы типа Арцела–Асколи дают условия (компактность, равностепенная ограниченность и эквиконтинуальность), позволяющие выделить равномерно сходящую подпоследовательность с непрерывным пределом.
Вывод: достаточно требовать равномерную или локально равномерную сходимость, либо эквиконтинуальность вместе с поточечной сходимостью на компактном отрезке; поточечная сходимость сама по себе не достаточна (пример $x^n$ на $[0,1]$).