Обозначения. Пусть $S$ — окружность с центром $O$ и радиусом $r$. Для стороны $BC$ положим $d_a=\mathrm{dist}(O,BC)$, аналогично $d_b=\mathrm{dist}(O,CA)$, $d_c=\mathrm{dist}(O,AB)$. Для каждой стороны связь с пересечением/касанием:
- если $d_{\ast }<r$, то прямая стороны пересекает $S$ в двух точках (секущая);
- если $d_{\ast }=r$, то прямая стороны касается $S$ (касание в одной точке);
- если $d_{\ast }>r$, то прямая стороны не пересекает $S$.
1) Условие и доказательство для вписанной (incircle).
Условие: $S$ — вписанная окружность треугольника $ABC$ тогда и только тогда, когда
$$d_a=d_b=d_c=r$$ и $O$ лежит внутри треугольника (тогда точки касания лежат на отрезках сторон). Эквивалентная формулировка: $O$ — точка пересечения внутренних биссектрис углов $A,B,C$.
Краткое доказательство: если $S$ касается всех трёх сторон, то расстояния от центра до этих сторон равны радиусу, значит $d_a=d_b=d_c=r$. Обратно, если $d_a=d_b=d_c=r$ и $O$ внутри, то из равенства расстояний следует, что $O$ лежит на биссектрисах углов (равенство расстояний до двух сторон эквивалентно принадлежности биссектрисе), поэтому перпендикуляры из $O$ на стороны дают точки касания и окружность касается всех трёх сторон.
2) Условие и доказательство для описанной (circumcircle).
Условие: $S$ — описанная окружность треугольника $ABC$ тогда и только тогда, когда
$$OA=OB=OC=r,$$ то есть точки $A,B,C$ лежат на окружности $S$. Центр $O$ в этом случае — пересечение серединных перпендикуляров сторон треугольника (окружность единственна).
Доказательство очевидно: описывающая окружность определяется как окружность, проходящая через три вершины; её центр равен расстоянию до всех трёх вершин.
3) Условие и доказательство для ровно одной касательной общей точки.
Интерпретация: окружность имеет с треугольником ровно одно касательное общую точку, т.е. касается ровно одной из сторон треугольника (на остальных либо пересекает, либо не пересекает). Тогда условие формулируется просто через $d_a,d_b,d_c$: ровно одно из чисел $d_a,d_b,d_c$ равно $r$, остальные два не равны $r$. В зависимости от положения относительно стороны может быть два подпункта:
- ровно одно равно $r$, остальные меньше $r$ — тогда $S$ касается одной стороны и пересекает остальные две (две секущие);
- ровно одно равно $r$, остальные больше $r$ — тогда $S$ касается одной стороны, не пересекает другие две (касание и две несоприкоснувшиеся прямые).
Краткое объяснение: по общей трихотомии для каждой стороны условие касания эквивалентно $d_{\ast }=r$. Следовательно, ровно одна касательная общая точка ⇔ ровно одно из равенств $d_a=r$, $d_b=r$, $d_c=r$ выполняется.
Дополнительные замечания (коротко).
- Все утверждения сводятся к проверке расстояний от центра $O$ до прямых-сторон и расстояний до вершин.
- В практических задачах удобно находить $O$ как пересечение биссектрис (для вписанной) или серединных перпендикуляров (для описанной) и проверять равенства $d_{\ast }=r$ или $OA=r$.