Функция $f$ задана как $f(x)=x^a\sin (1/x)$ при $x\ne 0$ и $f(0)=0$. Ответ и методы:
1) Непрерывность в нуле.
Условие: $a>0$.
Доказательство (метод: неравенство/теорема о зажатой): $|f(x)|=|x{|}^a|\sin (1/x)|\le |x{|}^a$. Если $a>0$, то $|x{|}^a\to 0$ при $x\to 0$, значит $f(x)\to 0=f(0)$. При $a\le 0$ предел не равен 0 (при $a=0$ $\sin (1/x)$ не имеет предела), поэтому непрерывность отсутствует.
2) Дифференцируемость в нуле.
Условие: $a>1$. При этом $f^{\prime }(0)=0$.
Доказательство (метод: определение производной/оценка разностного частного):
$$\frac{f(x)-f(0)}{x}=x^{a-1}\sin (1/x).$$ Такой предел при $x\to 0$ равен 0 тогда и только тогда, когда $a-1>0$ (для $a=1$ выражение $\sin (1/x)$ не имеет предела; при $a<1$ модуль дроби не стремится к 0). Следовательно дифференцируема ⇔ $a>1$.
3) Непрерывность производной в нуле ($C^1$ в нуле).
Условие: $a>2$.
Доказательство (метод: явная формула для $f^{\prime }$ при $x\ne 0$ и предел): для $x\ne 0$ по правилу произведения и цепи
$$f^{\prime }(x)=a{x}^{a-1}\sin (1/x)-x^{a-2}\cos (1/x).$$ Если $a>2$, то оба слагаемых стремятся к 0 при $x\to 0$ (первое потому, что $a-1>1$, второе потому, что $a-2>0$), значит ${\lim }_{x\to 0}{f}^{\prime }(x)=0=f^{\prime }(0)$. При $a\le 2$ второе слагаемое не стремится к 0: при $a=2$ оно равно $-\cos (1/x)$ (не имеет предела), при $a<2$ его модуль неограничен при $x\to 0$. Следовательно производная непрерывна в нуле лишь при $a>2$.
Краткая сводка:
- Непрерывна в нуле ⇔ $a>0$.
- Дифференцируема в нуле ⇔ $a>1$ (и тогда $f^{\prime }(0)=0$).
- Имеет непрерывную производную в нуле ($C^1$) ⇔ $a>2$.