Кратко — несколько естественных формулировок, их результаты и объяснение различий.
Формулировки и результаты
1) Ограниченное равновероятное взятие из $\{1,\dots ,N\}$.
Выбрать $a,b$ независимо и равномерно в $\{1,\dots ,N\}$ и положить вероятность как предел частоты при $N\to \infty$:
$$P=\underset{N\to \infty }{\lim }\frac{1}{N^2}\#\{1\le a,b\le N:\gcd (a,b)=1\}.$$ Тогда
$$P=\prod _{p\text{prime}}(1-p^{-2})=\frac{1}{\zeta (2)}=\frac{6}{{\pi }^2}\approx 0.607927\dots$$
2) Равновероятное взятие из симметричного интервала $\{-N,\dots ,N\}$ (ноль можно исключить или учитывать — вклад нулей ничтожно мал).
В пределах $N\to \infty$ даёт тот же предел $1/\zeta (2)$.
3) Выбор по гармонической (проективно-пространственной) мере — Haar‑мера на профинитном компакте $\mathbb{Z}$.
Это формулировка «выбрать целое число по всем модам одновременно»; она даёт точно тот же ответ ${\prod }_p(1-p^{-2})$. Она эквивалентна пределу по вычетам по модам через КНР.
4) Любая фиксированная распределённая модель на $\mathbb{Z}$ (например, $P(n)$ задаётся явно, не зависящая от $N$).
Тогда вероятность равна
$$P=\sum _{a,b\in \mathbb{Z}}P(a)P(b)1_{\gcd (a,b)=1},$$ и она зависит от выбора $P$. Простой контрпример: если $P(1)=1/2,P(2)=1/2$, то
$$P(\gcd (a,b)=1)=1-(1/2{)}^2=3/4,$$ что отличается от $6/{\pi }^2$.
Почему ответы различаются
- Пространство целых чисел счётно бесконечно, поэтому «равновероятность на Z» без указания предельного процесса или меры не определена. Разные способы задания меры (пределы по интервалам, конкретное распределение, Haar‑мера на $\mathbb{Z}$) дают разные числовые значения.
- Формулировка через предел равномерного выбора по интервалам (или эквивалентно Haar‑мера на профините) имеет дополнительную структуру: согласована с редукциями по модам и независимостью по простым благодаря теореме Китайской теории вычетов; поэтому при ней можно получить факторизацию по простым и Euler‑произведение ${\prod }_p(1-p^{-2})$.
Какая формулировка наиболее оправданна в теории вероятностей
- Наиболее канонична и обычно принимается формулировка «предел равномерного выбора на $\{1,\dots ,N\}$ при $N\to \infty$» (или эквивалентно Haar‑мера на $\mathbb{Z}$). Она естественна потому, что:
- инвариантна по сдвигам и согласована с редукциями по модам (КНР);
- приводит к независимости делимости по разным простым и к удобной факторизации через дзета‑функцию;
- даёт красивый и устойчивый ответ $\frac{1}{\zeta (2)}$.